Eine Quadratwurzel vereinfachen

Eine Quadratwurzel zu vereinfachen ist einfacher als es auf den ersten Blick scheint. Um eine Wurzel zu vereinfachen, musst du die Zahl faktorisieren (in ihre Teiler zerlegen) und jede Quadratzahl, die du dadurch findest, aus der Quadratwurzel herausziehen. Sobald du dir ein paar der häufigsten Quadratzahlen gemerkt hast und weißt, wie man eine Zahl faktorisiert, wirst du im Handumdrehen lernen, wie man eine Quadratwurzel vereinfacht.

Methode 1 von 3: Die Quadratwurzel durch Faktorisierung vereinfachen

  1. Verstehe Faktorisierung. Das Ziel beim Vereinfachen einer Quadratwurzel ist es, sie in einer Form umzuwandeln, die leicht zu verstehen und weiterzuverarbeiten ist. Wenn du eine Zahl faktorisierst, teilst du sie in zwei oder mehrere Faktoren (oder Teiler) auf, z.B. eine 9 in 3x3. Sobald wir diese Faktoren kennen, können wir die Quadratwurzel in einer einfacheren Form schreiben, manchmal sogar als eine Ganze Zahl. Zum Beispiel, √9 = √(3x3) = 3. In den folgenden Schritten lernst du, wie du auch kompliziertere Quadratwurzeln lösen kannst.
  2. Teile die Zahl durch die kleinstmögliche Primzahl. Wenn die Zahl unter der Wurzel gerade ist, teile sie durch 2. Wenn sie ungerade ist, versuche es stattdessen mit 3. Wenn du durch beides keine ganze Zahl als Ergebnis bekommst, gehe die Liste weiter, teste nach und nach andere Primzahlen, bis du eine ganze Zahl als Ergebnis erhältst. Du musst nur die Primzahlen testen, da alle ganzen Zahlen Primzahlen als ihre Faktoren haben. Wir müssen z.B. nicht auf 4 testen, da jede Zahl, die durch 4 teilbar ist, auch durch 2 teilbar ist, welche du bereits getestet hast.
    • 2
    • 3
    • 5
    • 7
    • 11
    • 13
    • 17
  3. Schreibe die Quadratwurzel zu einer Multiplikation-Aufgabe um. Lass alles unter dem Wurzelzeichen und vergiss nicht beide Faktoren zu beachten. Wenn du z.B. √98 vereinfachen willst und den ersten Schritt anwendest, wirst du feststellen, dass 98 ÷ 2 = 49, also 98 = 2 x 49 ist. Mit dieser Information kannst du also die 98 in der Wurzel umschreiben: √98 = √(2 x 49)
  4. Fahre mit den verbliebenen Zahlen fort. Bevor wir die Quadratwurzel vereinfachen können, müssen wir die Zahl solange faktorisieren, bis wir sie in zwei identische Teile aufgeteilt haben. Das macht Sinn, wenn du einmal darüber nachdenkst, was eine Quadratwurzel eigentlich bedeutet: Der Term √(2 x 2) bedeutet ja „eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2 x 2 ergibt“. Diese Zahl ist offensichtlich die 2! Mit diesem Ziel im Kopf, wiederholen wir die Schritt von oben, für unser Beispiel √(2 x 49):
    • Die 2 ist bereits so weit es geht faktorisiert (oder anders ausgedrückt, sie ist bereits eine der Primzahlen aus der Liste oben). Wir können sie also für den Moment ignorieren und uns stattdessen auf die 49 konzentrieren.
    • 49 kann nicht geradzahlig durch 2, 3 oder 5 geteilt werden. Du kannst das selbst mit einem Taschenrechner oder schriftlichen Division nachprüfen. Da wir also dadurch keine schönen, ganzzahligen Ergebnisse bekommen, ignorieren wir diese Teiler und probieren weiter.
    • Die 49 kann geradzahlig durch die 7 geteilt werden. 49 ÷ 7 = 7, also 49 = 7 x 7.
    • Schreibe die Aufgabe um: √(2 x 49) = √(2 x 7 x 7).
  5. Schließe das Vereinfachen ab, indem du die Ganze Zahl aus der Wurzel ziehst. Sobald du das Problem in zwei identische Faktoren umgewandelt hast, kannst du diese Faktoren als eine Ganze Zahl vor die Wurzel ziehen. Lass dabei alle anderen Faktoren unter der Wurzel. Zum Beispiel, √(2 x 7 x 7) = √(2)√(7 x 7) = √(2) x 7 = 7√(2).
    • Auch wenn es möglich wäre, weiter zu faktorisieren, musst du das nicht tun, sobald du zwei identische Faktoren gefunden hast. Zum Beispiel, √(16) = √(4 x 4) = 4, Wenn wir weiter faktorisieren, bekommen wir dieselbe Antwort, nur mit ein wenig mehr Aufwand: √(16) = √(4 x 4) = √(2 x 2 x 2 x 2) = √(2 x 2)√(2 x 2) = 2 x 2 = 4.
  6. Multipliziere ganze Zahlen zusammen, wenn es mehr als eine gibt. Bei größeren Quadratwurzeln kannst du oft mehr als einmal vereinfachen. Wenn dem so ist, multipliziere die ganzen Zahlen zusammen, um dein Endergebnis zu bekommen. Hier ist ein Beispiel:
    • √180 = √(2 x 90)
    • √180 = √(2 x 2 x 45)
    • √180 = 2√45, kann aber noch weiter vereinfacht werden.
    • √180 = 2√(3 x 15)
    • √180 = 2√(3 x 3 x 5)
    • √180 = (2)(3√5)
    • √180 = 6√5
  7. Schreibe „kann nicht vereinfacht werden“, wenn es keine zwei identischen Faktoren gibt. Einige Quadratwurzeln sind bereits so einfach wie möglich. Wenn du soweit faktorisiert hast, bis du unter der Wurzel nur noch Primzahlen zu stehen hast (siehe die Liste oben) und keine davon zweimal vorkommt, kannst du nichts weiter tun. Vielleicht hast du eine Fangfrage bekommen! Testen wir das z.B. einmal mit √70:
    • 70 = 35 x 2, also √70 = √(35 x 2)
    • 35 = 7 x 5, also √(35 x 2) = √(7 x 5 x 2)
    • Alle drei Zahlen unter der Wurzel sind Primzahlen, können also nicht weiter faktorisiert werden. Sie sind alle verschieden, du kannst also auch keine ganze Zahl herausziehen. √70 kann also nicht vereinfacht werden.

Methode 2 von 3: Erkenne Quadratzahlen

  1. Lerne ein paar Quadratzahlen auswendig. Eine Zahl zu quadrieren (hoch 2 zu nehmen), oder mit sich selbst zu multiplizieren, führt zu einer Quadratzahl. 25 ist z.B. eine Quadratzahl, da 5 x 5, oder 5, 25 ergibt. Du solltest dir zumindest die ersten 10 Quadratzahlen merken, damit du sie schnell erkennst und Quadratwurzeln schneller vereinfachen kannst. Hier sind die ersten zehn Quadratzahlen:
    • 1 = 1
    • 2 = 4
    • 3 = 9
    • 4 = 16
    • 5 = 25
    • 6 = 36
    • 7 = 49
    • 8 = 64
    • 9 = 81
    • 10 = 100
  2. Finde die Quadratwurzel einer Quadratzahl. Wenn du eine Quadratzahl unter einer Quadratwurzel erkennst, kannst du die Wurzel sofort ziehen und das Wurzelzeichen (√) loswerden. Zum Beispiel, wenn du die Zahl 25 unter einem Wurzelzeichen siehst, weißt du sofort, dass die Antwort 5 lautet, da 25 eine Quadratzahl ist. Hier ist die gleiche Liste wie oben, mit der jeweiligen Lösung der Quadratwurzel:
    • √1 = 1
    • √4 = 2
    • √9 = 3
    • √16 = 4
    • √25 = 5
    • √36 = 6
    • √49 = 7
    • √64 = 8
    • √81 = 9
    • √100 = 10
  3. Teile Zahlen in Quadratzahlen auf. Du kannst Quadratzahlen zu deinem Vorteil nutzen, wenn du eine Zahl faktorisieren oder eine Wurzel vereinfachen willst. Wenn du eine Möglichkeit erkennst, eine Quadratzahl als Faktor zu verwenden, kann dir das Zeit und Mühen sparen. Hier sind ein paar Tipps:
    • √50 = √(25 x 2) = 5√2. Wenn die letzten beiden Stellen einer Zahl auf 25, 50, oder 75 enden, kannst du immer den Faktor 25 verwenden.
    • √1700 = √(100 x 17) = 10√17. Wenn die letzten beiden Stellen einer Zahl auf 00 enden, kannst du immer den Faktor 100 verwenden.
    • √72 = √(9 x 8) = 3√8. Ein Vielfaches von 9 zu erkennen ist oftmals hilfreich. Dafür gibt es einen Trick: Wenn alle Ziffern einer Zahl sich zu 9 addieren, dann ist 9 auch immer ein Faktor der Zahl.
    • √12 = √(4 x 3) = 2√3. Hierfür gibt es keinen speziellen Trick, aber es ist oftmals sinnvoll zu überprüfen, ob eine kleine Zahl durch 4 teilbar ist. Behalte das im Hinterkopf, wenn du nach den Faktoren suchst.
  4. Eine Zahl faktorisieren, die mehr als eine Quadratzahl enthält. Wenn unter den Faktoren einer Zahl mehr als eine Quadratzahl ist, ziehe sie alle vor das Wurzelzeichen. Wenn du mehrere Quadratzahlen bei der Faktorisierung findest, ziehe sie alle vor das √-Symbol und multipliziere sie zusammen. Lass uns z.B. √72 vereinfachen:
    • √72 = √(9 x 8)
    • √72 = √(9 x 4 x 2)
    • √72 = √(9) x √(4) x √(2)
    • √72 = 3 x 2 x √2
    • √72 = 6√2

Methode 3 von 3: Kenne die Terminologie

  1. Verstehe, dass das Wurzelsymbol (√) für die Quadratwurzel steht. Falls die Aufgabe beispielsweise √25 lautet, steht das "√" für die Wurzel.
  2. Der Radikand ist die Zahl unter dem Wurzelzeichen. Von dieser Zahl willst du die Quadratwurzel bilden. Falls die Aufgabe beispielsweise √25 lautet, ist "25" der Radikand.
  3. Der Koeffizient ist die Zahl vor der Wurzel. Das ist die Zahl, mit der die Quadratwurzel multipliziert wird, und befindet sich links vom Wurzelsymbol. Falls die Aufgabe beispielsweise 7√2 lautet, ist "7" der Koeffizient.
  4. Ein Faktor (Teiler) ist eine Zahl, durch die eine andere Zahl ganzzahlig geteilt werden kann. Zum Beispiel ist 2 ein Faktor von 8, da 8 ÷ 4 = 2. Die Zahl 3 ist hingegen kein Faktor von 8, da 8÷3 keine ganze Zahl als Ergebnis ergibt. Ein weiteres Beispiel: 5 ist ein Faktor von 25, denn 5 x 5 = 25.
  5. Verstehe den Sinn hinter der Vereinfachung einer Quadratwurzel. Die Vereinfachung einer Quadratwurzel bedeutet einfach, dass man alle Quadratzahlen aus dem Radikanden herausrechnet, diese links neben das Wurzelzeichen schreibt und die restlichen Faktoren innerhalb der Wurzel lässt. Falls es sich bei der Zahl um eine Quadratzahl handelt, kannst du das Wurzelzeichen weglassen, nachdem du die Wurzel hingeschrieben hast. Zum Beispiel lässt sich √98 vereinfachen zu 7√2.

Tipps

  • Eine Möglichkeit, um geeignete Quadratzahlen zu finden, durch die der Radikand teilbar ist, besteht darin, nacheinander die Liste an Quadratzahlen durchzugehen. Beginne dabei bei der nächstkleineren Quadratzahl im Vergleich zum Radikanden. Falls du zum Beispiel nach einer Quadratzahl für 27 suchst, beginnst du zunächst bei 25, gehst danach zu 16 und stoppst bei 9, da du jetzt eine Quadratzahl gefunden hast, durch die sich 27 teilen lässt.

Warnungen

  • Taschenrechner können bei größeren Zahlen hilfreich sein, aber je häufiger du selbst rechnest, desto einfacher wird es.
  • Vereinfachen ist nicht dasselbe wie Ausrechnen/Lösen. An keiner Stelle während dieses Vorgangs solltest du eine Kommazahl erhalten.
Information
Users of Guests are not allowed to comment this publication.