Polynome teilen

Polynome können genauso wie Zahlen geteilt werden, entweder durch faktorisieren oder wie bei der schriftlichen Division. Die Methode hängt davon ab wie kompliziert die Polynome sind, die geteilt werden und durch die geteilt wird.

Teil 1 von 3: Entscheiden, welche Methode benutzt werden soll

  1. Schau dir an, wie kompliziert der Divisor ist. Je nach dem wie kompliziert der Divisor (das Polynom, durch das du teilst) ist im Vergleich zum Dividenden (das Polynom, das geteilt wird), benutzt du verschiedene Methoden.
    • Wenn der Divisor ein Monom (ein Polynom, das nur aus einem Term besteht) ist, entweder eine Variable mit einem Koeffizienten oder eine Konstante (eine Zahl ohne Variable), dann kannst du versuchen, den Divisor aus dem Dividenden auszuklammern und dann den ausgeklammerten Faktor und den Divisor kürzen. Vergleiche “Den Dividenden faktorisieren”, um eine Anleitung und Beispiele zu finden.
    • Wenn der Divisor ein Binom (ein Polynom mit zwei Termen) ist, dann kannst du vielleicht den Dividenden faktorisieren und einen resultierenden Faktor und den Divisor kürzen.
    • Wenn der Divisor ein Trinom (ein Polynom mit drei Termen) ist, dann kannst du vielleicht den Dividenden und den Divisor faktorisieren, einen gemeinsamen Faktor kürzen und dann entweder den Dividenden weiter faktorisieren oder schriftliche Division benutzen.
    • Wenn der Divisor ein Polynom mit mehr als drei Termen ist, musst du wahrscheinlich die schriftliche Division benutzen. Vergleiche “Schriftliche Division für Polynome”, um eine Anleitung und Beispiele zu finden.
  2. Schau dir an, wie kompliziert der Dividend ist. Wenn du immer noch nicht weißt, ob du den Dividenden faktorisieren sollst, nachdem du dir den Divisor angeschaut hast, dann schau dir den Dividenden selbst an.
    • Wenn der Dividend drei oder weniger Terme hat, kannst du ihn wahrscheinlich faktorisieren und den Divisor kürzen.
    • Wenn der Dividend mehr als drei Terme hat, musst du wahrscheinlich die schriftliche Division anwenden.

Teil 2 von 3: Den Dividenden faktorisieren

  1. Überprüfe, ob alle Terme des Dividenden einen gemeinsamen Faktor mit dem Divisor haben. Wenn ja, dann kannst du ihn ausklammern und gegen den Divisor kürzen.
    • Wenn du das Binom 3x – 9 durch 3 teilen willst, dann kannst du 3 aus dem Binom ausklammern und erhältst 3(x – 3). Du kannst dann die 3 im Dividenden und im Divisor kürzen, und es bleibt nur x – 3.
    • Wenn du das Binom 24x - 18x durch 6x teilen willst, dann kannst du 6x aus dem Binom ausklammern und erhältst 6x(4x - 3). Du kannst dann 6x im Dividenden und im Divisor kürzen und es bleibt nur 4x - 3.
  2. Suche nach speziellen Mustern im Dividenden, die anzeigen, dass er faktorisiert werden kann. Bestimmte Polynom haben Terme, die dir sagen, dass es faktorisiert werden kann. Wenn einer dieser Faktoren wie der Divisor ist, dann kürzen sie sich heraus und es bleibt nur der andere Faktor übrig. Hier sind ein paar Muster nach denen du suchen kannst:
    • Differenzen von Quadratzahlen. Das ist ein Binom der Form ‘’a x - b’’, wobei ‘’a ’’ und ‘’b ’’ Quadrate sind. Das Binom kann dann in zwei Binome (ax + b)(ax – b) faktorisiert werden, wobei a und b die Wurzeln des Koeffizienten und die Wurzel der Konstanten des ursprünglichen Binoms sind.
    • Trinom aus Quadraten. Das Trinom hat die Form ax + 2abx + b . Es kann in die Faktoren (ax + b)(ax + b) zerlegt werden, das auch (ax + b) geschrieben werden kann. Wenn das Zeichen vor dem zweiten Term negativ ist, dann sind die Faktoren (ax – b)(ax – b).
    • Summe oder Differenz von Kubikzahlen. Das ist ein Binom der Form ax + b oder ax - b, wobei ‘’a ’’ und ‘’b ’’ Kubikzahlen sein müssen. Dies Binom kann in ein Binom und ein Trinom zerlegt werden. Die Summe von Kubikzahlen wird zerlegt in (ax + b)(ax - abx + b). Die Differenz von Kubikzahlen wird zerlegt in (ax - b)(ax + abx + b).
  3. Probiere herum, um den Dividenden zu faktorisieren. Wenn du kein klares Muster im Dividenden siehst, das dir sagt, wie du ihn faktorisieren kannst, kannst du einfach verschiedene Faktoren-Kombinationen ausprobieren. Du kannst dies tun, indem du dir zuerst die Konstante anschaust und versuchst Faktoren für sie zu finden, und dir dann den Koeffizienten des mittleren Terms anschaust.
    • Wenn der Dividend zum Beispiel x - 3x – 10 ist, dann schaust du dir erst die Faktoren von 10 an und benutzt dann die 3 um zu entscheiden, welches Faktoren-Paar das richtige ist.
    • 10 kann faktorisiert werden in 1 und 10 oder 2 und 5. Da das Vorzeichen der 10 negativ ist, muss einer der Faktoren eine negative Konstante haben.
    • 3 ist die Differenz von 2 und 5, also müssen sie die Konstanten der Faktoren sein. Da die 3 ein negatives Vorzeichen hat, muss das Binom mit der 5 die negative Zahl haben. Die Faktoren sind also (x – 5)(x + 2). Wenn der Divisor einer dieser beiden Faktoren ist, dann kann er gekürzt werden, und der verbleibende Faktor ist das Ergebnis.

Teil 3 von 3: Schriftliche Division für Polynome

  1. Schreibe die Division hin. Du schreibst die Division von Polynomen genauso hin wie bei Zahlen. In den Bildern hier steht der Dividend unter dem Strich und der Divisor steht links.
    • Wenn du x + 11 x + 10 durch x +1 teilen willst, dann steht x + 11 x + 10 unter dem Strich und x + 1 links.
  2. Teile den ersten Term des Dividenden durch den ersten Term des Divisors. Das Ergebnis wird über den Strich geschrieben.
    • In unserem Beispiel teilen wir x, den ersten Term des Dividenden, durch x, den ersten Term des Divisors und erhalten x. Wir schreiben also ein x über den Strich oberhalb von x.
  3. Multipliziere x mit dem Divisor. Schreibe das Ergebnis dieser Multiplikation unter den ganz linken Term des Dividenden.
    • In unserem Beispiel erhalten wir x + x, wenn wir x + 1 mit x multiplizieren. Wir schreiben es unter die ersten zwei Terme des Dividenden.
  4. Ziehe es vom Dividenden ab. Um das zu tun, drehen wir erst alle Vorzeichen in dem Produkt um. Schreibe nach der Subtraktion die restlichen Terme des Dividenden nach unten.
    • Das Umdrehen der Vorzeichen von x + x ergibt - x - x. Wenn wir dies von den ersten beiden Termen des Dividenden abziehen, dann erhalten wir 10x. Nachdem wir die restlichen Terme des Dividenden nach unten geschrieben haben, erhalten wir 10x + 10, mit dem wir jetzt weiter rechnen.
  5. Wiederhole die letzten drei Schritte nun mit diesem Dividenden. Du teilst wieder den ersten Term dieses neuen Dividenden durch den ersten Term des Divisors, schreibst das Ergebnis über den Strich nach dem ersten Term, multiplizierst das Ergebnis mit dem Divisor und berechnest damit, was du vom neuen Dividenden abziehen musst.
    • x mal 10 ergibt 10x, deshalb schreiben wir “+ 10” über den Strich neben das x.
    • Die Multiplikation von x +1 und 10 ergibt 10x + 10. Wir schreiben das unter den neuen Dividenden und drehen die Vorzeichen um für die Subtraktion und haben somit -10x – 10.
    • Wenn du die Subtraktion durchführst, dann erhältst du 0. Damit haben wir für die Division von x + 11 x + 10 durch x +1 ein Ergebnis von x + 10. Du hättest natürlich dasselbe Ergebnis durch Faktorisieren erhalten, aber wir haben dieses Beispiel gewählt, um die Division einfach zu halten.

Tipps

  • Wenn du bei der schriftlichen Polynom-Division einen Rest (ungleich 0) behältst, dann kannst du ihn mit in das Ergebnis schreiben, indem du einen Bruch hinzufügst mit dem Rest als Zähler und dem Divisor als Nenner. Wenn in unserem Beispiel der Dividend x + 11 x + 12 gewesen wäre anstelle von x + 11 x + 10, dann hätte die Division durch x +1 einen Rest von 2 ergeben. Das Ergebnis wäre dann x + 10 + 2 / (x+1).
  • Wenn dein Dividend eine Lücke in den Graden der Terme hat, wie zum Beispiel 3x+9x+18, dann kannst du den fehlenden Term mit einem Koeffizienten von 0 einfügen, in diesem Fall 0x, um die Positionierung der anderen Terme während er Division leichter zu machen. Wenn man dies tut, dann verändert man den Wert des Dividenden nicht.
  • In manchen Mathematik-Büchern werden das Ergebnis und der Dividend rechtsbündig dargestellt oder so, dass die Terme mit gleicher Ordnung in beiden Polynomen untereinander ausgerichtet sind. Aber wahrscheinlich ist es leichter, wenn man die Division per Hand macht, das Ergebnis und den Dividenden linksbündig wie oben gezeigt zu schreiben.

Warnungen

  • Achte darauf, dass deine Spalten ordentlich untereinander stehen bei der schriftlichen Division, damit du nicht die falschen Terme von einander abziehst.
  • Wenn du das Ergebnis einer Polynom-Division mit Rest schreibst, dann schreibe immer ein Plus-Zeichen zwischen die ganze Zahl (oder ganze Variable) und den Bruch.
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