Vektoren addieren oder subtrahieren

Vektoren sind physikalische Größen, die einen Betrag und eine Richtung haben, zum Beispiel Geschwindigkeit, Beschleunigung und Verschiebung, im Gegensatz zu Skalaren, die nur einen Betrag haben, zum Beispiel Gewicht, Entfernung oder Energie. Skalare können addiert werden indem man ihre Beträge addiert (zum Beispiel 5 kJ Arbeit plus 6 kJ Arbeit ist gleich 11 kJ Arbeit), aber die Addition oder Subtraktion von Vektoren ist etwas komplizierter. Hier werden die Details beschreiben.

Methode 1 von 4: Vektor-Addition oder -Subtraktion

  1. Wir haben zwei Vektoren, Vektor A und Vektor B.
    • A=<a1,b1,c1>
    • B=<a2,b2,c2>
  2. Wir addieren Vektor A und Vektor B.
    • A+B = <a1+a2,b1+b2,c1+c2>
  3. Wir subtrahieren Vektor B von Vektor A.
    • A-B = <a1-a2,b1-b2,c1-c2>

Methode 2 von 4: Anfangspunkt an den Endpunkt

  1. Nimm einen Vektor und bestimme seinen Anfangs- und Endpunkt. Es geht am einfachsten, wenn du es zeichnest. Achte darauf, dass es maßstabsgetreu ist und die Winkel genau eingehalten werden.
  2. Verschiebe den anderen Vektor so, dass sein Startpunkt auf dem Endpunkt des ersten Vektors liegt.
  3. Verbinde alle anderen Vektoren nacheinander. Die Reihenfolge spielt keine Rolle und diese Methode kann für eine beliebige Anzahl von Vektoren verwendet werden.
  4. Verbinde den Startpunkt des ersten Vektors mit dem Endpunkt des letzten. Dies ist der resultierende Vektor oder die Summe aller deiner Vektoren.
    • Wenn du alles maßstabsgetreu mit korrekten Winkeln gezeichnet hast, kannst du die Länge des resultierenden Vektors mit dem Lineal messen. Miss auch den Winkel, den der resultierende Vektor mit einem vorgegebenen Vektor oder der horizontalen/vertikalen Achse bildet.
    • Wenn du nur eine ungefähre Skizze gemacht hast, musst du den Betrag des resultierenden Vektors mit trigonometrischen Mitteln ausrechnen. Die Sinus-Regel und die Kosinus-Regel könnten hier nützlich sein. Wenn du mehr als zwei Vektoren addieren willst, ist es einfacher zuerst zwei Vektoren zu addieren und dann den resultierenden Vektor und den dritten Vektor und so weiter.
  5. Präsentiere deinen resultierenden Vektor. Wenn die Vektoren zum Beispiel Geschwindigkeiten repräsentieren, dann schreibe "Eine Geschwindigkeit x ms mit y zur Horizontalen/Vertikalen/etc".

Methode 3 von 4: Senkrechte Komponenten

  1. Zerlege jeden Vektor in zwei aufeinander senkrecht stehende Komponenten. Zerlege zum Beispiel jeden Vektor in seine horizontale und vertikale Komponente. Im Kartesischen Koordinatensystem ist diese Zerlegung üblich. Der Einheitsvektor entlang der x-Achse wird üblicherweise mit i bezeichnet, entlang der y-Achse mit j.
    • Um eine Kraft in ihre Komponenten zu zerlegen, musst du den Winkel kennen, den sie mit der horizontalen, vertikalen, x- oder y-Achse bildet. Sobald du diesen Winkel kennst, kannst du ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Kraftvektor als Hypotenuse und den anderen Seiten entlang der x- und y-Achse konstruieren. Die Längen der beiden anderen Seiten sind die Beträge der Komponenten entlang dieser Richtungen und können mit trigonometrischen Mitteln berechnet werden. Die Seite, die am Winkel anschließt, ist xcos(Winkel) und die gegenüberliegende Seite ist xsin(Winkel), wobei x der Betrag der ursprünglichen Kraft ist.
    • Wenn eine Komponente nach unten oder nach links zeigt, bekommt sie ein negatives Vorzeichen (-).
  2. Addiere alle Beträge der horizontalen Komponenten (oder entlang der x-Achse). Addiere alle Beträge der vertikalen Komponenten separat (oder entlang der y-Achse). Wenn eine Komponente ein negatives Vorzeichen (-) hat, wird ihr Betrag subtrahiert statt addiert.
  3. Berechne den Betrag des resultierenden Vektors mit dem Satz des Pythagoras. Der Satz lautet: c=a+b, wobei c der Betrag des resultierenden Vektors ist, a die Summe der Beträge der Komponenten entlang der x-Achse und b die Summe der Beträge der Komponenten entlang der y-Achse.
  4. Berechne den Winkel zwischen dem resultierenden Vektor und der x-Achse. Benutze die Formel θ=tan(b/a), wobei θ der Winkel zwischen dem resultierenden Vektor und der x-Achse ist.
  5. Präsentiere deinen resultierenden Vektor.
    • Schreibe zum Beispiel, wenn die Vektoren Kräfte repräsentieren "Eine Kraft mit Betrag x mit y zur Horizontalen/x-Achse/etc".

Methode 4 von 4: Vektor-Subtraktion

  1. Subtrahiere indem du das entsprechende Negative addierst. Subtraktion eines Vektors von einem anderen kann betrachtet werden als Addition des "Negativen".
  2. Bestimme das Negative des Vektors. Es hat den gleichen Betrag wie der Originalvektor, aber die umgekehrte Richtung. Du kannst es zeichnen indem du den Originalvektor zeichnest, aber den Pfeil an das andere Ende zeichnest, so dass der Startpunkt der Endpunkt wird und umgekehrt.
  3. Verwende eine der Additionsmethoden und benutze das Negative. Verwende eine der oben beschriebenen Additionsmethoden um das "Negative" des Vektors, der subtrahiert werden soll, und den Vektor, von dem es subtrahiert werden soll, zu addieren.

Tipps

  • Vektoren in der Form xi + yj + zk können addiert und subtrahiert werden indem man einfach die Koeffizienten der Einheitsvektoren addiert oder subtrahiert. Das Ergebnis ist dann auch in der i,j,k Form.
  • Vektoren mit gleicher Richtung können addiert oder subtrahiert werden indem man einfach ihre Beträge addiert oder subtrahiert. Wenn du zwei Vektoren mit gegensätzlicher Richtung addierst , dann werden ihre Beträge subtrahiert , nicht addiert.
  • Spaltenvektoren können addiert oder subtrahiert werden indem man die Werte in jeder Zeile addiert oder subtrahiert.
  • Du kannst den Betrag eines dreidimensionalen Vektors mit folgender Formel bestimmen a=b+c+d , wobei a der Betrag des Vektors und b, c, und d die Komponenten in jeder Richtung sind.
  • Vektoren dürfen nicht mit Beträgen verwechselt werden.
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