Ein magisches Quadrat lösen

Magische Quadrate haben mit dem Aufkommen von auf Mathematik basierenden Spielen wie Sudoku an Beliebtheit gewonnen. Ein magisches Quadrat ist ein Quadrat, in dem die Zahlen derart angeordnet sind, dass die Summe jeder Reihe, Spalte und Diagonale eine gleichbleibende Zahl ist, die sogenannte "magische Zahl". Dieser Artikel wird dir sagen, wie du jede Art von magischem Quadrat lösen kannst, ob es eine ungerade, gerade oder doppelt gerade Kästchenanzahl pro Seite hat.

Methode 1 von 3: Ein magisches Quadrat mit ungerader Kästchenanzahl lösen

  1. Berechne die magische Zahl. Du kannst diese Zahl finden indem du eine einfache mathematische Formel anwendest, wo n = die Anzahl der Reihen und Spalten in deinem magischen Quadrat ist. Bei einem 3x3 magischen Quadrat ist n zum Beispiel = 3. Die magische Zahl = [n * (n2 + 1)]/2. In unserem 3x3 Beispiel also:
    • Summe = [3 * (32 + 1)] / 2
    • Summe = [3 * (9 + 1)] / 2
    • Summe = (3 * 10) / 2
    • Summe = 30 / 2
    • Die magische Zahl für ein 3x3 Quadrat ist 30/2 oder 15.
    • Alle Reihen, Spalten und Diagonalen müssen diese Zahl ergeben.
  2. Setze die Zahl 1 in das mittlere Kästchen in der obersten Reihe. Man beginnt bei magischen Quadraten immer an dieser Stelle, wenn es eine ungerade Kästchenanzahl hat, egal wie hoch oder niedrig diese Zahl ist. Wenn du also ein 3x3 Quadrat hast, setzt du die Zahl 1 in Kästchen 2; bei einem 15x15 Quadrat setzt du die Zahl 1 in Kästchen 8.
  3. Setze die verbleibenden Zahlen in einem eins-hoch-, eins-rechts-Muster. Nun trägst du die Zahlen der Reihe nach (1, 2, 3, 4 usw.) ein, indem du dich eine Reihe nach oben und eine Spalte nach rechts bewegst. Du wirst schnell feststellen, dass du für die Zahl 2 über die oberste Kante hinausgehen musst, außerhalb des magischen Quadrates. Das ist richtig so. Obwohl du dich in diesem eins-hoch-, eins-rechts-Muster bewegst, gibt es drei Ausnahmen die ebenfalls strukturierte, vorhersehbare Regeln haben:
    • Wenn die Schritte dich zu einem "Kästchen" über der obersten Reihe des Quadrates führen, verbleibst du in derselben Spalte, setzt die Zahl aber in die unterste Reihe dieser Spalte.
    • Wenn die Schritte dich zu einem "Kästchen" führen, das über das rechte Ende der rechten Spalte hinausführt, bleibst du in dieser Spalte, setzt die Zahl aber in die am weitesten links liegende Spalte dieser Reihe.
    • Wenn die Schritte dich zu einem Kästchen führen, das bereits besetzt ist, gehst du zu dem letzten Kästchen das du ausgefüllt hast und setzt die nächste Zahl direkt darunter.

Methode 2 von 3: Ein magisches Quadrat mit einfach gerader Kästchenanzahl lösen

  1. Verstehe was mit "einfach gerade" gemeint ist. Jeder weiß, dass eine gerade Zahl durch 2 teilbar ist, bei magischen Quadraten gibt es aber ganz unterschiedliche Methoden um Quadrate mit einfach oder doppelt gerader Kästchenanzahl zu lösen.
    • Ein Quadrat mit einfach gerader Kästchenanzahl hat eine Kästchenanzahl pro Seite, die durch 2 teilbar ist aber nicht durch 4.
    • Das kleinste mögliche magische Quadrat mit einer einfach geraden Kästchenanzahl pro Seite ist 6x6, da 2x2 große magische Quadrate nicht möglich sind.
  2. Berechne die magische Zahl. Verwende dieselbe Methode wie bei einem magischen Quadrat mit ungerader Kästchenanzahl: die magische Zahl = [n * (n2 + 1)]/2, wobei n = die Anzahl der Kästchen pro Seite ist. In dem Beispiel eines 6x6 Quadrates gilt also:
    • Summe = [6 * (62 + 1)] / 2
    • Summe = [6 * (36 + 1)] / 2
    • Summe = (6 * 37) / 2
    • Summe = 222 / 2
    • Die magische Zahl für ein 6x6 Quadrat ist 222/2 oder 111.
    • Alle Reihen, Spalten und Diagonalen müssen diese Summe bilden.
  3. Teile das magische Quadrat in vier Quadranten von gleicher Größe. Beschrifte sie mit A (oben links), C (oben rechts), D (unten links) und B (unten rechts). Um auszurechnen, wie groß jedes Quadrat sein sollte, teile einfach die Anzahl der Kästchen in jeder Reihe und Spalte in die Hälfte.
    • Für ein 6x6 Quadrat hat also jeder Quadrant 3x3 Kästchen.
  4. Teile jedem Quadranten einen Zahlenbereich zu. Quadrant A bekommt ein Viertel der Zahlen; Quadrant B das zweite Viertel; Quadrant C das dritte Viertel und Quadrant D das letzte Viertel des gesamten Zahlenbereiches eines 6x6 magischen Quadrates.
    • In dem Beispiel für ein 6x6 Quadrat würde Quadrant A mit den Zahlen von 1-9 gelöst werden; Quadrant B mit 10-18; Quadrant C mit 19-27; und Quadrant D mit 28-36.
  5. Löse jeden Quadranten indem du die Methode für magische Quadrate mit ungerader Kästchenanzahl anwendest. Quadrant A wird leicht auszufüllen sein, da er mit der Zahl 1 beginnt, wie jedes gewöhnliche magische Quadrat. Quadranten B-D beginnen aber mit ungewöhnlichen Zahlen — 10, 19 und 28 in unserem Beispiel.
    • Behandle die erste Zahl eines jeden Quadranten als ob es eine 1 wäre. Setze sie in das mittlere Kästchen in die oberste Reihe jedes Quadranten.
    • Behandle jeden Quadranten wie ein eigenes magisches Quadrat. Auch wenn ein Kästchen in einem benachbarten Quadranten verfügbar ist, ignoriere es und springe zu den "Ausnahme"-Regeln die auf die jeweilige Situation zutreffen.
  6. Erstelle die Markierungen A und D. Wenn du probiert hast die Summe der Reihen, Spalten und Diagonalen zusammen zu zählen, wirst du festgestellt haben, dass sie nicht die magische Zahl ergeben. Du musst ein paar Kästchen zwischen dem oberen linken und dem unteren linken Quadranten vertauschen, um dein magisches Quadrat fertigzustellen. Wir werden diese getauschten Bereiche Markierung A und Markierung D nennen.
    • Mit einem Bleistift markierst du alle Kästchen in der oberen Reihe, bis du an dem mittleren Kästchen von Quadrant A angelangt bist. In einem 6x6 Quadrat also würdest du nur Kästchen 1 (das die Zahl 8 trägt) markieren, aber in einem 10x10 Quadrat würdest du die Kästchen 1 und 2 markieren (die die Zahlen 17 und 24 drin haben).
    • Grenze ein Quadrat ab mit den Kästchen, die du soeben in der oberen Reihe markiert hast. Wenn du nur ein Kästchen markiert hast, besteht dein Quadrat aus nur diesem einen Kästchen. Wir werden diese Fläche als Markierung A-1 bezeichnen.
    • In einem 10x10 magischen Quadrat würde Markierung A-1 aus den Kästchen 1 und 2 in den Reihen 1 und 2 bestehen, wodurch ein 2x2 Quadrat oben links im Quadranten entsteht.
    • In der Reihe direkt unter Markierung A-1 lässt du die Zahl in der ersten Spalte aus und markierst dann genau so viele Kästchen, wie auch in A-1 liegen. Wir werden diese mittlere Reihe Markierung A-2 nennen.
    • Markierung A-3 ist ein Kästchen identisch mit A-1, aber in der unteren linken Ecke des Quadranten.
    • Markierung A-1, A-2 und A-3 ergeben zusammen Markierung A.
    • Wiederhole diesen Vorgang in Quadrant D und erschaffe so eine exakt gleich große markierte Fläche, die wir Markierung D nennen werden.
  7. Tausche die markierten Flächen A und D. Das ist ein eins-zu-eins-Tausch; hebe die markierten Kästchen einfach heraus und tausche die Zahlen in Quadrant A und Quadrant D aus, ohne ihre Anordnung auf irgendeine Art zu verändern. Wenn du das getan hast sollten alle Reihen, Spalten und Diagonalen in deinem magischen Quadrat die magische Zahl ergeben, die du errechnet hast.

Methode 3 von 3: Ein magisches Quadrat mit doppelt gerader Kästchenanzahl lösen

  1. Verstehe was eine "doppelt gerade" Kästzchenanzahl bei einem magischen Quadrat ist. Eine einfach gerade Kästchenanzahl bei einem magischen Quadrat ist eine Anzahl von Kästchen pro Seite, die durch 2 teilbar ist. Eine doppelt gerade Kästchenanzahl ist eine Kästchenanzahl pro Seite, die durch das Doppelte von 2 teilbar ist — 4.
    • Das kleinste Quadrat mit einer doppelt geraden Kästchenanzahl das gemacht werden kann ist ein 4x4 Quadrat.
  2. Berechne die magische Zahl. Wende dieselbe Methode an, wie du es bei einem magischen Quadrat mit ungerader oder einfach gerader Kästchenanzahl pro Seite machen würdest: die magische Zahl = [n * (n2 + 1)] / 2, wobei n = die Anzahl der Kästchen pro Seite ist. Für das Beispiel eines 4x4 Quadrates gilt also:
    • Summe = [4 * (42 + 1)] / 2
    • Summe = [4 * (16 + 1)] / 2
    • Summe = (4 * 17) / 2
    • Summe = 68 / 2
    • Die magische Zahl für ein 4x4 Quadrat is 68/2, or 34.
    • Alle Reihen, Spalten und Diagonalen müssen diese Summe ergeben.
  3. Erstelle die Markierungen A-D. In jeder Ecke deines magischen Quadrates markierst du ein kleines Quadrat, dessen Seitenlänge n/4 beträgt, wobei n = die Länge einer Seite des ganzen magischen Quadrates ist. Beschrifte dann die Markierungen A, B, C und D gegen den Uhrzeigersinn.
    • In einem 4x4 Quadrat musst du nur die vier Eckkästchen markieren.
    • In einem 8x8 Quadrat wird jede Markierung eine 2x2 große Fläche in den Ecken sein.
    • In einem 12x12 Quadrat sollte jede Markierung eine 3x3 große Fläche in den Ecken sein usw.
  4. Erschaffe eine zentrale Markierung. Markiere alle Kästchen in der Mitte des magischen Quadrates in einer quadratischen Form der Länge n/2, wobei n = die Länge einer Seite des ganzen magischen Quadrates ist. Die zentrale Markierung sollte sich nicht mit den Markierungen A-D überlappen, sondern sie an den Ecken berühren.
    • In einem 4x4 Quadrat sollte die zentrale Markierung eine 2x2 große Fläche in der Mitte sein.
    • In einem 8x8 Quadrat sollte die zentrale Markierung eine 4x4 große Fläche in der Mitte sein, und so weiter.
  5. Fülle des magische Quadrat aus, aber nur in den markierten Flächen. Beginne damit, die Zahlen in deinem magischen Quadrat von links nach rechts einzutragen, schreibe aber nur die Zahl hinein, wenn das Kästchen auf eine Markierung fällt. In einem 4x4 Quadrat würdest du also folgende Kästchen ausfüllen:
    • 1 in das obere linke Kästchen und 4 in das obere rechte Kästchen
    • 6 und 7 in die mittleren Kästchen der Reihe 2
    • 10 und 11 in die mittleren Kästchen der Reihe 3
    • 13 in die untere linke Ecke und 16 in das untere rechte Kästchen
  6. Fülle den Rest des magischen Quadrates ein, indem du rückwärts zählst. Das ist im Grunde genommen das Gegenteil des vorherigen Schrittes. Beginne wieder in der oberen linken Ecke, lasse aber diesmal alle Kästchen aus, die auf markierte Flächen fallen und fülle die nicht-markierten Kästchen aus, wobei du rückwärts zählst. Beginne mit der größten Zahl in deinem Zahlenbereich. In einem 4x4 magischen Quadrat würdest du also folgendes eintragen:
    • 15 und 14 in die mittleren Kästchen in Reihe1
    • 12 in das am weitesten linke Kästchen und 9 in das am weitesten rechts stehende Kästchen in Reihe 2
    • 8 in das am weitesten linke Kästchen und 5 in das am weitesten rechts stehende Kästchen in Reihe 3
    • 3 und 2 in die mittleren Kästchen in Reihe 4
    • An dieser Stelle sollten alle deine Reihen, Spalten und Diagonalen die magische Zahl als Summe haben.

Tipps

  • Probiere Variationen dieser Schritte zu machen, um deine eigenen Lösungsmethoden zu finden.

Was du brauchst

  • Bleistift
  • Papier
  • Radiergummi
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