Die 72er Regel anwenden

Die 72er Regel ist eine praktische Regel, die in der Finanz-Mathematik benutzt wird, um schnell zu schätzen, wieviele Jahre es dauert, um ein bestimmtes Kapital zu verdoppeln, oder um den Jahreszinssatz zu schätzen, der benötigt wird, damit ein gegebener Geldbetrag sich über eine gegebene Anzahl von Jahren verdoppelt. Die Regel besagt, dass "der Zinssatz in Prozent multipliziert mit der Anzahl der Jahre, die es dauert, einen Kapitalbetrag zu verdoppeln, ungefähr gleich 72 ist. Die 72er Regel gilt bei exponentiellem Wachstum (wie Zinseszins) oder bei exponentiellen Abfall.

Methode 1 von 2: Exponentielles Wachstum

  1. Sei R * T = 72, wobei R = die Wachstumsrate (zum Beispiel der Zinssatz und T = die Verdopplungszeitdauer ist (zum Beispiel wie lange es dauert, einen Geldbetrag zu verdoppeln).
  2. Setze den Wert für R = Wachstumsrate ein. Zum Beispiel: Wie lange dauert es, 100 EUR auf 200 EUR zu verdoppeln, bei einem jährlichen Zinssatz von 5%? Durch Einsetzen von R = 5 erhalten wir 5 * T = 72.
  3. Löse nach der unbekannten Variablen auf. In unserem Beispiel teilen wir beide Seiten durch R = 5 und erhalten T = 72/5 Jahre = 14,4 Jahre. Also dauert es 14,4 Jahre, um 100 EUR auf 200 EUR zu verdoppeln, bei einem jährlichen Zinssatz von 5%.
  4. Lass uns weitere Beispiel anschauen:
    • Wie lange dauert es, einen gegebenen Geldbetrag bei einem jährlichen Zinssatz von 10% zu verdoppeln? Sei 10 * T = 72, also T = 7,2 Jahre.
    • Wie lange dauert es, 100 EUR auf 1600 EUR zu vervielfachen bei einem jährlichen Zinssatz von 7,2%? Wir müssen vier mal verdoppeln, um von 100 EUR zu 1600 EUR zu gelangen (das Doppelte von 100 EUR ist 200 EUR, das Doppelte von 200 EUR ist 400 EUR, das Doppelte von 400 EUR ist 800 EUR, und das Doppelte von 800 EUR ist 1600 EUR). Für jedes Verdoppeln gilt: 7,2 * T = 72, also ist T = 10 Jahre. Wenn wir es mit 4 multiplizieren, erhalten wir 40 Jahre.

Methode 2 von 2: Exponentieller Abfall

  1. Schätze die Zeit, in der du die Hälfte deines Kapitals verlierst, wie im Fall einer Inflation. Berechne T = 72/R, nachdem du einen Wert für R eingesetzt hast, analog zum Schätzen der Verdopplungszeit bei exponentiellem Wachstum (es ist dieselbe Formel wie bei der Verdopplung, aber wir stellen uns das Ergebnis als Inflation und nicht als Wachstum vor), zum Beispiel:
    • Wie lange dauert es, bis 100 EUR nur noch 50 EUR wert sind bei einer Inflationsrate von 5%?
      • Sei 5 * T = 72, also 72/5 Jahre = T, und damit T = 14,4 Jahre, in der sich die Kaufkraft halbiert bei einer Inflationsrate von 5%.
  2. Schätze die Verfallsrate für eine bestimmte Zeitspanne: Berechne R = 72/T, nachdem du einen Wert für T eingesetzt hast, analog zum Schätzen der Wachstumsrate bei exponentiellem Wachstum, zum Beispiel:
    • Wenn die Kaufkraft von 100 EUR nach zehn Jahren nur noch 50 EUR wert ist, wie hoch ist dann die jährliche Inflationsrate?
      • Sei R * 10 = 72, wobei T = 10 Jahre. Deshalb ist R = 72/10 = 7,2% in diesem Beispiel.
  3. Achtung! Ein allgemeiner Trend (oder Durchschnitt) für die Inflation – und "Ausreißer" oder ungewöhnliche Werte – werden einfach ignoriert und außer Acht gelassen.

Tipps

  • Felix' Korollar der 72er Regel wird benutzt, um den zukünftigen Wert einer Rente (eine Reihe regelmäßiger Zahlungen) zu approximieren. Es besagt, dass der zukünftige Wert einer Rente, deren Zinssatz in Prozent multipliziert mit der Anzahl der Zahlungen 72 ergibt, approximiert werden kann, indem man die Gesamtsumme der Zahlungen mit1,5 multipliziert. Zum Beispiel sind 12 periodische Zahlungen von 1000 EUR, die mit 6% pro Periode verzinst werden, ungefähr 18.000 EUR wert nach der letzten Periode. Dies ist eine Anwendung von Felix' Korollar zur 72er Regel, da 6 (der Zinssatz in Prozent) mal 12 (die Anzahl der Zahlungen) gleich 72 ist, deshalb ist der Wert der Rente ungefähr 1,5 mal 12 mal 1000 EUR.
  • Die Zahl 72 ist so gewählt, weil sie ein bequemer Zähler ist , denn sie hat viele kleine Teiler: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 und 12. Sie bietet eine gute Approximation für jährliche Zinsen mit typischen Zinssätzen (von 6% bis 10%). Die Approximation ist weniger gut bei höheren Zinsätzen.
  • Lass die 72er Regel jetzt für dich arbeiten, indem du jetzt mit dem Sparen anfängst . Bei einer Wachstumsrate von 8% pro Jahr (die durchschnittliche Rendite am Aktienmarkt) verdoppelst du dein Geld innerhalb von 9 Jahren (8 * 9 = 72), vervierfachst dein Geld in 18 Jahren und versechzehnfachst dein Geld in 36 Jahren.

Herleitung

Periodische Verzinsung
  1. Für periodische Verzinsung gilt FV = PV (1 + r), wobei FV = der zukünftige Wert, PV = der aktuelle Wert, r = die Wachstumsrate, T = Zeit ist.
  2. Wenn sich das Geld verdoppelt, dann gilt FV = 2*PV, also gilt 2PV = PV (1 + r) oder 2 = (1 + r), unter der Annahme, dass der aktuelle Wert nicht gleich Null ist.
  3. Wenn wir nach T auflösen, indem wir den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten anwenden und die Gleichung umstellen, erhalten wir T = ln(2) / ln(1 + r).
  4. Die Taylor-Reihen-Entwicklung für ln(1 + r) um 0 ist r - r/2 + r/3 - ... Für kleine Werte r sind die Beiträge der höheren Potenzen klein und der Ausdruck ist ungefähr gleich r, so dass t = ln(2) / r.
  5. Beachte, dass ln(2) ~ 0,693 ist, so dass T ~ 0,693 / r (oder T = 69,3 / R, wenn der Zinssatz in Prozent (R) von 0-100% angegeben wird), und das ist die 69,3-Regel. Andere Zahlen wie 69, 70 und 72 werden benutzt, weil die Rechnungen damit einfacher sind.
Stetige Verzinsung
  1. Für periodische Verzinsung mit mehreren Perioden pro Jahr gilt FV = PV (1 + r/n), wobei FV = der zukünftige Wert, PV = der aktuelle Wert, r = die Wachstumsrate, T = Zeit und n = die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr sind. Bei stetiger Verzinsung geht n gegen unendlich. Mit Hilfe der Definition von e = lim (1 + 1/n) für n gegen unendlich, wird der Ausdruck zu FV = PV * e.
  2. Wenn sich der Geldbetrag verdoppelt hat, dann gilt FV = 2*PV, also 2PV = PV e oder 2 = e, unter der Annahme, dass der aktuelle Wert nicht gleich Null ist.
  3. Wenn wir nach T auflösen, indem wir den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten anwenden und die Gleichung umstellen, erhalten wir T = ln(2)/r = 69,3/R (wobei R = 100r, um die Wachstumsrate in Prozent anzugeben). Das ist die 69,3-Regel.
  • Bei stetiger Verzinsung sind die Ergebnisse mit 69,3 (oder ungefähr 69) genauer, da ln(2) ungefähr 69,3% und R * T = ln(2) ist, wobei R = die Wachstums- (oder Verfalls-)Rate, T = die Verdopplungs- (oder Halbierungs-)Zeit und ln(2) der natürliche Logarithmus von 2 ist. 70 kann auch approximativ für stetige oder tägliche (was praktisch fast stetig ist) Verzinsung verwendet werden, um die Berechnung leichter zu machen. Diese Varianten sind als 69,3-Regel , 69er Regel oder 70er Regel bekannt.
    • Eine ähnliche Genauigkeits-Anpassung wird auch bei der 69,3-Regel für hohe Raten mit täglicher Verzinsung verwendet: T = (69,3 + R/3) / R Jahre.
  • Die Eckart-McHale-Regel zweiter Ordnung (oder E-M-Regel) macht eine multiplikative Korrektur zu der 69,3-Regel oder 70er Regel (aber nicht bei 72), damit es für höhere Zinssätze genauer wird. Um die E-M-Approximation zu berechnen, multiplizieren wir das Ergebnis der 69,3- (oder 70er) Regel mit 200/(200-R), das heißt T = (69,3/R) * (200/(200-R)) Jahre. Wenn beispielsweise der Zinssatz 18% ist, besagt die 69,3-Regel, dass t = 3,85 Jahre. Die E-M-Regel multipliziert dies mit 200/(200-18), was eine Verdopplungszeit von 4,23 Jahren ergibt, und ist damit näher an der wirklichen Verdopplungszeit von 4,19 Jahren bei diesem Zinssatz.
    • Die Padé-Approximation dritter Ordnung liefert noch bessere Approximationen, indem sie den Korrektur-Faktor (600 + 4R) / (600 + R) verwendet, das heißt T = (69,3/R) * ((600 + 4R) / (600 + R)) Jahre. Wenn der Zinssatz 18% ist, ergibt die Padé-Approximation dritter Ordnung T = 4,19 Jahre.
  • Um die Verdopplungszeiten für höhere Raten zu berechnen, passen wir die 72er Regel an, indem wir 1 addieren für jeweils 3 Prozentpunkte oberhalb von 8%. Damit haben wir T = [72 + (R - 8%)/3] / R Jahre. Wenn beispielsweise der Zinssatz 32% ist, dann ist die Verdopplungszeit für einen bestimmten Geldbetrag T = [72 + (32 - 8)/3] / 32 = 2,5 Jahre. Beachte, dass wir hier 80 statt 72 benutzen. Bei 72 hätten wir eine Verdopplungszeit von 2,25 Jahren erhalten.
  • Hier ist eine umfangreiche Tabelle, die die Anzahl der Jahre angibt, die es dauert, einen bestimmten Geldbetrag bei verschiedenen Zinssätzen zu verdoppeln, und in der Approximationen mit verschiedenen Regeln vergleichen werden:
Rate Echte Jahre 72er Regel 70er Regel 69,3er Regel E-M- Regel0,25% 277,605 288,000 280,000 277,200 277,5470,5% 138,976 144,000 140,000 138,600 138,9471% 69,661 72,000 70,000 69,300 69,6482% 35,003 36,000 35,000 34,650 35,0003% 23,450 24,000 23,333 23,100 23,4524% 17,673 18,000 17,500 17,325 17,6795% 14,207 14,400 14,000 13,860 14,2156% 11,896 12,000 11,667 11,550 11,9077% 10,245 10,286 10,000 9,900 10,2598% 9,006 9,000 8,750 8,663 9,0239% 8,043 8,000 7,778 7,700 8,06210% 7,273 7,200 7,000 6,930 7,29511% 6,642 6,545 6,364 6,300 6,66712% 6,116 6,000 5,833 5,775 6,14415% 4,959 4,800 4,667 4,620 4,99518% 4,188 4,000 3,889 3,850 4,23120% 3,802 3,600 3,500 3,465 3,85025% 3,106 2,880 2,800 2,772 3,16830% 2,642 2,400 2,333 2,310 2,71840% 2,060 1,800 1,750 1,733 2,16650% 1,710 1,440 1,400 1,386 1,84860% 1,475 1,200 1,167 1,155 1,65070% 1,306 1,029 1,000 0,990 1,523

Warnungen

  • Lass die 72er Regel nicht gegen dich arbeiten, wenn du Schulden mit hohen Zinssätzen machst. Vermeide Kreditkarten-Schulden! Bei einem durchschnittlichen Zinssatz von 18%, verdoppeln sich die Kreditkarten-Schulden innerhalb von 4 Jahren (18 * 4 = 72) und vervierfachen sich innerhalb von 8 Jahren, und es wird mit der Zeit immer schlimmer. Meide Kreditkarten-Schulden wie die Pest.
Information
Users of Guests are not allowed to comment this publication.