z Werte berechnen

Ein Z-Wert ermöglicht es dir, einen Stichprobenwert aus einem Datensatz zu entnehmen und zu berechnen, wie viel Standardabweichungen er über oder unter dem Mittelwert liegt. Um den Z-Wert eines Stichprobenwertes zu bestimmen, musst du erst die Varianz, die Standardabweichung und den Mittelwert der Stichprobe bestimmen, um dann die Differenz zwischen dem Stichprobenwert und dem Mittelwert zu berechnen und zum Schluss das Ergebnis durch die Standardabweichung teilen. Auch wenn das viele einzelne Schritte sind, die du gehen musst, um diese Rechnung von Anfang bis Ende durchzuarbeiten, handelt es sich dabei doch um eine relativ einfache Berechnungsart.

Teil 1 von 4: Den Mittelwert berechnen

  1. Schaue dir deinen Datensatz an. Du benötigst einige Schlüsselinformationen, um den Mittelwert (oder das arithmetische Mittel) deiner Stichprobe berechnen zu können.
    • Du musst wissen, wie groß deine Stichprobe ist. In unserem Fall, einer Stichprobe an Palmen, gibt es fünf Werte.
    • Erkenne, für was die Werte stehen. In unserem Beispiel, stehen diese Werte für die Höhe der Bäume.
    • Schaue dir die Variation der Zahlen an. Variieren die Daten stark oder eher gering?
  2. Sammle deine Daten zusammen. Du benötigst alle Werte aus deinem Beispiel, um deine Berechnung beginnen zu können.
    • Der Mittelwert ist der Durchschnittswert aller Werte in dem Beispiel.
    • Um diesen zu berechnen, musst du alle Werte der Probe zusammenzählen und das Ergebnis durch die Größe der Probe teilen.
    • Mathematisch ausgedrückt, steht n für die Größe der Probe. In unserem Beispiel von Baumgrößen ist n = 5, da wir fünf Werte in unserer Stichprobe haben.
  3. Addiere alle Werte in der Stichprobe zusammen. Das ist der erste Schritte, um den Mittelwert oder das arithmetische Mittel zu berechnen.
    • In unserem Beispiel mit den Palmen besteht die Stichprobe aus fünf Palmen mit der jeweiligen Höhe von 7/8/8/7,5 und 9.
    • 7 + 8 + 8 + 7,5 + 9 = 39,5. Das ist die Summe aller Werte aus unserer Stichprobe.
    • Überprüfe noch einmal deine Lösung, um sicherzustellen, dass du dich nicht verrechnet hast.
  4. Teile die Summe durch die Größe der Stichprobe (n). Dadurch bekommst du den Mittelwert des Datensatzes.
    • Das wäre dann bei unserem Beispiel: 7/8/8/7,5 und 9; das sind fünf Werte, n ist also gleich 5.
    • Die Summe der Höhen in unserer Stichprobe war 39,5. Also teilst du diesen Wert durch 5 und bekommst den Mittelwert.
    • 39,5 / 5 = 7,9.
    • Der Mittelwert der Baumhöhen ist 7,9 m. Der Mittelwert von Populationen wird oft mit dem Symbol μ dargestellt, deswegen μ = 7,9.

Teil 2 von 4: Finde die Varianz

  1. Finde die Varianz. Die Varianz ist eine Zahl, die anzeigt, wie sehr sich die Werte in deinem Datensatz um den Mittelwert herum gruppieren.
    • Diese Berechnung gibt dir eine Vorstellung davon, wie verteilt die Werte in deiner Stichprobe sind.
    • Bei Stichproben mit einer kleinen Varianz liegen die meisten Werte relativ nahe am Mittelwert.
    • Bei Stichproben mit einer großen Varianz liegen die meisten Werte weiter vom Mittelwert entfernt verteilt.
    • Die Varianz wird oft herangezogen, um die Verteilung zweier Datensätze oder Stichproben zu vergleichen.
  2. Subtrahiere den Mittelwert von jedem Wert in deiner Stichprobe. Dadurch bekommst du eine Vorstellung davon, wie sehr sich jeder Wert deiner Stichprobe vom Mittelwert unterscheidet.
    • In unserer Stichprobe der Baumhöhen war der Mittelwert 7,9.
    • 7 – 7,9 = -0,9; 8 – 7,9 = 0,1; 8 – 7,9 = 0,1; 7,5 – 7,9 = -0,4; und 9 – 7,9 = 1,1.
    • Gehe die Berechnung noch einmal durch, damit du sicher bist, dich nicht verrechnet hast. Die richtigen Werte sind sehr wichtig für den nächsten Schritt.
  3. Quadriere (also multipliziere die Zahlen mit sich selbst) alle Lösungen aus dem letzten Schritt. Diese Werte benötigst du, um die Varianz deiner Stichprobe zu bestimmen.
    • Denke daran, in unserem Beispiel haben wir den Mittelwert von 7,9 von jedem Datenpunkt subtrahiert und folgende Ergebnisse bekommen: -0,9; 0,1; 0,1; -0,4; und 1,1.
    • Quadriere diese Werte: (-0,9)² = 0,81; (0,1)² = 0,01; (0,1)² = 0,01; (-0,4)² = 0,16; und (1,1)² = 1,21.
    • Die Quadratzahlen aus diesen Berechnungen sind: 0,81; 0,01; 0,01; 0,16, und 1,21.
    • Überprüfe deine Ergebnisse, bevor du zum nächsten Schritt übergehst.
  4. Zähle die Quadratzahlen zusammen. Du musst die Summe der Quadratzahlen berechnen.
    • In unserem Beispiel sind die Quadratzahlen folgende: 0,81; 0,01; 0,01; 0,16, und 1,21.
    • 0,81 + 0,01 + 0,01 + 0,16 + 1,21 = 2,2
    • Für unsere Beispiel ist die Summe der Quadrate 2,2.
    • Überprüfe deine Berechnung noch einmal, damit du mit den richtigen Werten weitermachst.
  5. Teile die Summe der Quadrate durch (n-1). Zur Erinnerung, n ist unsere Stichprobengröße (wie viele Werte wir in unserer Stichprobe haben). Durch diesen Schritt bekommst du die Varianz.
    • Für unser Beispiel ist die Summe der Quadrate 2,2.
    • Es gibt 5 Werte in unserer Stichprobe. Deswegen ist n = 5.
    • n - 1 = 4
    • Denke daran, die Summe der Quadrate ist 2,2. Um die Varianz zu finden, musst du folgendes berechnen: 2,2 / 4.
    • 2,2 / 4 = 0,55
    • Also ist die Varianz der Stichprobe aus Baumhöhen 0,55.

Teil 3 von 4: Berechne die Standardabweichung

  1. Finde den Wert für die Varianz. Diesen wirst du für die Berechnung der Standardabweichung benötigen.
    • Die Varianz sagt aus, wie verteilt die Werte um deinen Mittelwert oder das arithmetische Mittel liegen.
    • Die Standardabweichung ist eine Zahl, die anzeigt, wie sehr verteilt die Daten in deiner Stichprobe liegen.
    • In unserem Beispiel mit den Baumhöhen ist die Varianz 0,55.
  2. Ziehe die Wurzel aus dem Wert für die Varianz. Das Ergebnis ist die Standardabweichung.
    • In unserem Beispiel ist die Varianz 0,55.
    • √0,55 = 0,741619848709566. Bei der Berechnung dieses Schritts wirst du oft sehr große Dezimalzahlen erhalten. Es ist in Ordnung, wenn du das Ergebnis für die Standardabweichung auf die zweite oder dritte Dezimalstelle rundest. In unserem Fall verwenden wir 0,74.
    • Als gerundeter Wert ist die Standardabweichung für unsere Stichprobe aus Baumhöhen 0,74.
  3. Gehe noch einmal alles durch und finde den Wert für den Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung. Damit stellst du auch sicher, dass du die richtigen Werte für die Standardabweichung verwendet hast.
    • Schreibe alle Zwischenschritte für deine Berechnungen auf.
    • Dadurch erkennst du, wo du einen Fehler gemacht hast, solltest du einen haben.
    • Solltest du bei deiner Überprüfung ein anderes Ergebnis für den Mittelwert, die Varianz oder die Standardabweichung bekommen, gehe noch einmal alle Berechnungen durch und untersuche sie sorgfältig.

Teil 4 von 4: Den Z-Wert berechnen

  1. Verwende folgende Formel, um einen Z-Wert zu berechnen: z = X - μ / σ. Diese Formel lässt dich jeden Z-Wert für jeden Punkt deiner Stichprobe berechnen.
    • Zur Erinnerung, ein Z-Wert ist das Maß dafür, wie viele Standardabweichungen ein Datenpunkt vom Mittelwert entfernt liegt.
    • In der Formel steht X für den Datenwert, für den du den Z-Wert berechnen willst. Wenn du also z.B. herausfinden willst, mit wie viel Standardabweichung 7,5 vom Mittelwert unseres Baumhöhen-Beispiels entfernt liegt, würdest du 7,5 für X in der Gleichung einsetzen.
    • In der Formel steht μ für den Mittelwert. In unserem Beispiel mit den Baumhöhen ist der Mittelwert 7,9.
    • In der Formel steht σ für die Standardabweichung. In unserem Beispiel mit den Baumhöhen ist die Standardabweichung 0,74.
  2. Beginne die Berechnung, indem du den Mittelwert von deinem Datenpunkt abziehst. So fängst du mit der Berechnung des Z-Werts an.
    • Für unsere Stichprobe an Baumhöhen wollen wir z.B. herausfinden, wie viele Standardabweichung 7,5 vom Mittelwert 7,9 weg liegt.
    • Deswegen berechnen wir Folgendes: 7,5 – 7,9.
    • 7,5 – 7,9 = -0,4.
    • Überprüfe noch einmal, ob du den richtigen Mittelwert eingesetzt und richtig subtrahiert hast, bevor du weitermachst.
  3. Teile das Ergebnis der Subtraktion aus dem letzten Schritt durch die Standardabweichung. Dadurch erhältst du den Z-Wert.
    • Für unsere Stichprobe aus Baumhöhen wollen wir den Z-Wert für den Datenpunkt 7,5 berechnen.
    • Wir haben bereits den Mittelwert von 7,5 subtrahiert und den Wert -0,4 erhalten.
    • Zur Erinnerung, die Standardabweichung für unsere Stichprobe war 0,74.
    • -0,4 / 0,74 = -0,54
    • Der Z-Wert ist in diesem Fall also -0,54.
    • Der Z-Wert sagt aus, dass 7,5 -0,54 Standardabweichung vom Mittelwert der Stichprobe entfernt ist.
    • Z-Werte können positive und negative Zahlen sein.
    • Ein negativer Z-Wert bedeutet, dass der Datenpunkt kleiner ist als der Mittelwert, ein positiver Z-Wert bedeutet, dass der fragliche Datenpunkt größer ist als der Mittelwert.
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