Cómo encontrar el área de un cuadrado usando el largo de su diagonal

La fórmula para el área de un cuadrado es simple: su lado al cuadrado, o l^2. Pero, si alguna vez te has preguntado si puedes encontrar el área de un cuadrado usando su diagonal o diagonales, la respuesta es sí. Y es simple, como el dicho: "La distancia más corta entre dos puntos es la hipotenusa".

Orientación útil

  1. Usa otros artículos de ayuda al proceder a través de este tutorial:
    • Investiga en Internet sobre artículos relacionados con el Excel, el arte geométrico o trigonométrico, trazar o hacer gráficos, y la formulación algebraica.
    • Para más gráficos de arte, es posible que también quieras hacer clic en Categoría:Microsoft-Excel o Categoría:Matemáticas para encontrar muchas hojas de cálculo de Excel y gráficos en donde la trigonometría, la geometría y el cálculo se han convertido en arte, o simplemente haz clic en la categoría como aparece en la parte superior derecha blanca o en la parte inferior de la página.

La fórmula

  1. Considera un cuadrado cuya diagonal mide d unidades.
  2. El área de este cuadrado puede calcularse usando la fórmula A = d/2.

La prueba

  1. Consideremos un cuadrado cuyo lado mide a unidades.
  2. Sabemos que el área del cuadrado es igual al lado al cuadrado o (lado). Siendo el lado a en este caso, tenemos: A = a (ecuación 1).
  3. Une dos vértices opuestos cualquiera para marcar una diagonal. Deja que la medida de esta diagonal sea d unidades. Esta diagonal divide el cuadrado en dos triángulos rectángulos.
  4. Aplica el teorema de Pitágoras a cualquiera de estos triángulos:a + a = d => 2 a = d => a = d/2
  5. Sustituye el valor de a obtenido en el paso anterior en la ecuación 1. De esta forma, tenemos: A = d/2.

Ejemplo

  1. Encuentra el área de un cuadrado cuya diagonal mide 10 cm (4 pulgadas).
  2. Usando A = d/2, tenemos: A = 10/2 = 100/2 = 50 cm (8 in).

Método alternativo

  1. Encuentra el área de un cuadrado cuyo lado mide s unidades usando la diagonal.
  2. Debido a que la diagonal de un cuadrado con un lado de 1 mide √2 según el teorema de Pitágoras (es decir, 1^2 + 1^2 = (lado x √2)^2), todos los cuadrados tienen una diagonal de lado x √2.
    • Por lo tanto, de acuerdo a las ecuaciones anteriores, el área del cuadrado es la diagonal al cuadrado dividida entre 2. Para un lado s, [(s x √2)^2]/2 = el área del cuadrado. Observa que (√2)^2/2 = 1, así que solo queda s^2 = A.
    • Esto es útil en el caso más común en donde el lado se da en números enteros pares en lugar de la diagonal.
    • Además, si se da una diagonal de 10 y se pide encontrar tanto el área como la longitud del lado, es difícil hacerlo sin este método alternativo, porque uno necesita dividir 10 entre √2, o 1,414 (1,4142135623731 para ser más exactos) y obtener la longitud de 7,071 para el lado, la cual, al elevarse al cuadrado, es igual a 50. 10^2 /2 también es igual a 50. Pero, si la hipotenusa al cuadrado es igual a 100, los lados a1 y a2 miden cada uno 7,071, lo cual al cuadrado es igual a 50. Por lo tanto, la diagonal al cuadrado, dividida entre 2 y elevada al cuadrado también equivale al área.
    • De otro modo, encuentra rápidamente la raíz del área por medio de un método como el de Newton-Raphson.
    • La fórmula anterior, es decir 1^2 + 1^2 = (lado x √2)^2, solo es correcta si el lado es igual a 1. Pero s^2 + s^2 = 2s^2 = (lado x √2)^2. Lo que significa que √2 x s = s x √2, o d = d. Esto en realidad no lleva a ninguna parte. Pero si tomas la diagonal d = s x √2, la elevas al cuadrado, luego la divides entre la raíz cuadrada de 2, y elevas este resultado también al cuadrado, el resultado será el área. Es decir, (s x √2)^2 = 2s^2, y esto dividido entre 2 nos da s^2, el área. Entonces, A = (s x √2)^2 /(√2)^2 = (d/√2)^2. Esta es otra forma de encontrar el área si se te da solo la longitud de los lados pero se te pide que uses la diagonal para determinar el área. La fórmula funciona igual que la anterior, pero la lógica es un poco diferente. Aquí hemos razonado directamente que el área del cuadrado es la diagonal elevada al cuadrado y luego dividida entre 2, lo cual nos dice que, si uno hace un cuadrado sobre la diagonal, exactamente un medio de eso será igual al área del cuadrado que originó la diagonal, y no importa cómo uno crea esta mitad. Este simple hecho es muy importante en la cristalografía y la química, y también es importante para artistas, coreógrafos, maquinistas, etc.

N.B. La diagonal del cuadrado y las operaciones neutras

  1. Deja que la diagonal sea neutra entre la suma y la multiplicación (l = lado).
  2. Expresa esto como una fórmula así:
    • (s + (√2)^2)/2 = (s x (√2)^2)/2 = c; luego, obteniendo la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos:
    • (s + √2)/√2 = (s x √2)/√2; luego, multiplicar ambos lados por la raíz cuadrada de 2 nos da:
    • (s + √2) = (s x √2); al restar s de ambos lados, tenemos:
    • √2 = s x (√2 - 1), habiendo simplificado la izquierda y factorizado la derecha.
    • √2/(√2 - 1) = s; cuando dividimos ambos lados entre √2 - 1 y simplificamos.
    • 3,414213562 = s, al resolver el lado izquierdo de la ecuación.
    • Pruébalo contra la hipótesis original que (s + (√2)^2)/2 = (s x (√2)^2)/2 = c.
    • (3,414213562 + (√2)^2)/2 = (3,414213562 x (√2)^2)/2 = c = 11,65685425.
    • Esto es suficientemente impresionante, pero considera también que 3,414213562^2 = 11,65685425.
    • Por último, sé consciente de que 2 + √2 = 3,414213562. Es decir, geométricamente, con dos lados de un valor de 1 y la diagonal como el tercer lado, 3,414213562 es la suma de esos tres números. Esa figura al cuadrado es igual a decir que la suma y la multiplicación son neutras para la diagonal. Y cuadramos la figura girándola 90 grados hacia el eje z, movimiento que se asemeja a los dedos pulgar, índice y medio girando para sujetar un objeto, con la muñeca en el punto {0,0}. Esto será tal vez de interés y uso para los músicos, artistas, deportistas profesionales, etc.
Información
Usuarios que están en este grupo no pueden dejar comentarios en la página