Cómo dividir polinomios

Los polinomios pueden dividirse al igual que las constantes numéricas, ya sea por medio de una factorización o por medio de una división larga. El método que vayas a utilizar dependerá de qué tan complejos sean el dividendo y el divisor del polinomio.

Determina qué aproximación utilizar

  1. Observa qué tan complejo es el divisor. La complejidad del divisor (el polinomio por el cual dividirás) en comparación con el dividendo (el polinomio que dividirás por el divisor) determinará cuál es la mejor aproximación.
    • Si el divisor es un monomio (un polinomio de un solo término), ya sea una variable con un coeficiente, o una constante (un número sin una variable a su lado), probablemente puedas factorizar el dividendo y cancelar uno de los factores resultantes con el divisor. Consulta “Factorizando el dividendo” para ver más instrucciones y ejemplos.
    • Si el divisor es un binomio (polinomio de dos términos), quizás puedas factorizar el dividendo y cancelar uno de los factores resultantes con el divisor.
    • Si el divisor es un trinomio (polinomio de tres términos), quizás puedas factorizar tanto el dividendo como el divisor, cancelar el factor común, y luego seguir factorizando el dividendo o utilizar una división larga.
    • Si el divisor es un polinomio con más de tres factores, probablemente tengas que utilizar la división larga. Consulta “Utilizando división de polinomios largos” para ver más instrucciones y ejemplos.
  2. Observa qué tan complejo es el dividendo. Si al mirar el polinomio divisor no puedes darte cuenta de si debes intentar factorizar el dividendo, entonces observa directamente el dividendo.
    • Si el dividendo tiene tres términos o menos, probablemente puedas factorizarlo y cancelarlo con el divisor.
    • Si el dividendo tiene más de tres términos, probablemente debas dividirlo por el divisor utilizando la división larga.

Factoriza el dividendo

  1. Observa y trata de descubrir si todos los términos del dividendo contienen un factor común con el divisor. Si es así, puedes factorizarlo y probablemente podrás cancelarlo con el divisor.
    • Si debes dividir el binomio 3x – 9 por 3, puedes factorizar el 3 en ambos términos del binomio, convirtiéndolo en 3(x – 3). Luego puedes cancelar el divisor de 3, dejando un cociente de x – 3.
    • Si debes dividir el binomio 24x - 18x por 6x, puedes factorizar 6x en ambos términos del binomio, convirtiéndolo en 6x(4x - 3). Puedes cancelar el divisor de 6x, dejando un cociente de 4x - 3.
  2. Busca patrones especiales en el dividendo que te indiquen que puedes factorizarlo. Ciertos polinomios tienen términos que te indican que puedes factorizarlos. Si uno de esos términos coincide con el divisor, puedes cancelarlos, dejando el factor resultante como cociente. Aquí tienes algunos patrones que puedes buscar:
    • Diferencia de cuadrados perfectos. Éste es un binomio con la forma ‘’ax - b’’, en donde los valores de ‘’a’’ y ‘’b’’ son cuadrados perfectos. Estos binomios pueden factorizarse en dos binomios (ax + b)(ax – b), en donde a y b son las raíces cuadradas del coeficiente y constantes del binomio anterior.
    • Trinomio cuadrado perfecto. Este trinomio tiene la forma ax + 2abx + b 2. Puede factorizarse como (ax + b)(ax + b), lo cual también puede expresarse como (ax + b)2. Si el signo que está en frente del segundo término es un signo menos, los factores del binomio tendrán la forma (ax – b)(ax – b).
    • Suma o diferencia de cubos. Éste es un binomio con la forma ax + b or ax - b, en donde los valores de ‘’a’’ and ‘’b’’ son cubos perfectos. Estos binomios pueden factorizarse en un binomio y un trinomio. Una suma de cubos se factoriza a (ax + b)(ax - abx + b). Una diferencia de cubos se factoriza a (ax - b)(ax + abx + b).
  3. Utiliza el método de prueba y error para factorizar el dividendo. Si no puedes descubrir un patrón distinguible en el dividendo para darte cuenta de cómo factorizarlo, puedes probar varias combinaciones posibles de factorización. Puedes hacer esto observando primero la constante y tratando de encontrar varios factores para ella, y luego el coeficiente del término del medio.
    • Por ejemplo, si el dividendo es x - 3x – 10, podrías observar los factores de 10 y utilizar el 3 para determinar cuál de los pares de factores es el correcto.
    • El número 10 puede descomponerse en factores de 1 y 10, o 2 y 5. Debido a que el signo que está frente a él es negativo, uno de los binomios de la factorización debe tener un número negativo en frente de su constante.
    • El número 3 es la diferencia entre 2 y 5, por lo tanto éstas deben ser las constantes de los binomios de la factorización. Debido a que el signo que está frente al 3 es negativo, el binomio que tenga el 5 debe ser el que lleve un signo negativo. Los factores del binomio serán, por lo tanto, (x – 5)(x + 2). Si el divisor es uno de estos factores, podrás cancelarlos, y el factor resultante será el cociente.

Utiliza la división larga de polinomios

  1. Plantea la división. Debes escribir la división larga de polinomios del mismo modo en que lo haces para dividir números. El dividendo va debajo de la barra larga de división, mientras que el divisor va a la izquierda.
  2. Si debes dividir x + 11 x + 10 por x +1, entonces x + 11 x + 10 va debajo de la barra, mientras que x + 1 va a la izquierda.
  3. Divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor. El resultado de esta división se escribe arriba de la barra de división.
    • En nuestro ejemplo, dividir x, el primer término del dividendo, por x, el primer término del divisor, da por resultado x. Debes escribir una x por encima de la barra de división, arriba del x.
  4. Multiplica la x en la posición del cociente por el divisor. Escribe el resultado de la multiplicación debajo de los términos que estén más a la izquierda del dividendo.
    • Continuando con nuestro ejemplo, multiplicar x + 1 por x produce como resultado x + x. Debes escribir esto debajo de los dos primeros términos del dividendo.
  5. Réstaselo al dividendo. Para hacerlo, primero invierte los signos del producto de la multiplicación. Luego de restar, arrastra hacia abajo los términos restantes del dividendo.
    • Al invertir los signos de x + x te quedará –x – x. Si le restas esto a los dos primeros términos del dividendo, obtendrás 10x. Después de arrastrar hacia abajo los términos restantes del dividendo, tendrás 10x + 10 como cociente provisorio para continuar con el proceso de división.
  6. Repite los tres pasos anteriores para el cociente provisorio. Una vez más, debes dividir el cociente provisorio por el primer término del divisor, escribir ese resultado por encima de la barra de división, después del primer término del cociente, multiplicar el resultado por el divisor, y luego calcular qué es lo que debes restarle al cociente provisorio.
    • Ya que la x cabe 10 veces en 10 x, debes escribir “+ 10” luego de la x en la posición del cociente que corresponda en la barra de división.
    • Multiplicar x + 1 por 10, da como resultado 10x + 10. Debes escribir esto debajo del cociente provisorio e invertir los signos para hacer la resta, lo cual lo transformará en -10x – 10.
    • Cuando realices la resta, el resto que te quedará será 0. Por lo tanto, dividir x + 11 x + 10 por x +1 produce un cociente de x + 10. (Podrías haber obtenido el mismo resultado factorizando, pero se eligió este ejemplo para hacer que la división sea bastante simple).

Consejos

  • Si, cuando realices divisiones largas de polinomios, tienes un resto que no sea cero, puedes hacer que ese resto sea parte del cociente, escribiéndolo como una fracción utilizando el resto como numerador y el divisor como denominador. Si, en nuestro ejemplo de división larga, del dividendo hubiese sido x + 11 x + 12 en lugar de x + 11 x + 10, al dividir el dividendo por x + 1 habrías obtenido un resto de 2. El cociente completo, por lo tanto, debería expresarse del siguiente modo: x + 10 +2/(x+1).
  • Si tu dividendo tiene un hueco en los grados de sus términos, como por ejemplo 3x+9x+18, puedes insertar el término faltante con un coeficiente de 0, en este caso, 0x para hacer que sea más fácil ubicar los otros términos durante la división. Hacer esto no cambiará el valor del dividendo.
  • Ten en cuenta que algunos libros de álgebra dan formato a las divisiones largas de polinomio con el cociente y el dividendo justificado hacia la derecha, o con los términos presentados de forma que los términos del mismo grado dentro de un polinomio queden alineados entre sí. Sin embargo, probablemente te resulte más fácil, cuando vayas a hacer la división a mano, justificar hacia la izquierda el cociente y el dividendo tal como lo indican los pasos anteriores.

Advertencias

  • Mantén tus columnas alineadas cuando vayas a hacer divisiones largas de polinomios para evitar restar incorrectamente los términos de cada uno.
  • Cuando escribas el cociente de una división de polinomios que incluya un término fraccionario, utiliza siempre un signo de más entre el término del número entero (o la variable entera) y el término fraccionario.
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