Cómo encontrar la inversa de una función cuadrática

El cálculo de la inversa de una función linear es fácil: solamente realice una X en el sujeto de la ecuación; y remplace Y con X en la expresión resultante. Encontrar la inversa de una función cuadrática es considerablemente más complicado, principalmente porque las funciones cuadráticas no se encuentran en función uno a uno, a menos que esté restringido por un dominio adecuado.

Pasos

  1. Ejecuta Y o F(x) como el sujeto de la fórmula, en caso que no lo sea: durante la manipulación algebraica, asegúratee de no cambiar la función de modo alguno; y realiza la misma operación en ambos lados de la ecuación.
  2. Reformula la función para que la forma sea y=a(x-h)2+k. Esto no es solamente esencial para encontrar la inversa de la función, sino también para determinar si la función tiene un inverso. Puedes realizar esta operación mediante dos métodos:
    • Completa el cuadrado
      • Toma el común denominador del valor a de toda la ecuación (el coeficiente de X2). Para realizar esta operación deberás escribir el valor de a, abrir paréntesis, y escribir toda la ecuación; posteriormente, dividir cada término por el valor de a; tal como se muestra en el diagrama de la derecha. Deja la parte izquierda de la ecuación intacta, puesto que no se ha producido ningún cambio en el lado derecho.
      • Completa el cuadro. El coeficiente de x es (b/a). Divídalo para obtener (b/2a), y elévalo al cuadrado para obtener (b/2a)2. Súmalo y réstalo de la ecuación. Esto no tendrá ningún efecto en la ecuación. Si observas detenidamente, podrás visualizar que los tres primeros términos dentro del paréntesis se encuentran en la forma de a2+2ab+b2, donde a es x y b es (b/2a). Por supuesto que estos dos valores serán numéricos, en lugar de algebraicos para una ecuación real. Esto es un cuadrado completo.
      • Debido a que ahora los tres primeros términos son un cuadrado perfecto, puedes escribirlos en la forma (a-b)2 o (a+b)2. El signo entre ambos términos será el mismo del coeficiente x en la ecuación.
      • Toma el término que no se encuentra en el cuadrado perfecto, fuera del paréntesis. Esto formulará la ecuación y=a(x-h)2+k, tal como está previsto.
    • Compara coeficientes
      • Formula una igualdad en x. En el lado izquierdo, coloque la función expresada en términos de x; y a la derecha coloca la función en la forma que desees; en este caso a(x-h)2+k. Esto te permitirá encontrar los valores de a, h y k que son precisos para todos los valores de x.
      • Abre y expande el paréntesis en el lado derecho de la igualdad. No debemos tocar el lado izquierdo de la ecuación, y podemos omitirlo de nuestra operación. Fíjate que toda la operación en el lado derecho es algebráico tal como se indica y no numérico.
      • Identifica los coeficientes de cada potencia de x. Posteriormente agrúpalos y colócalos en paréntesis; tal como se indica a la derecha.
      • Compara los coeficientes de cada potencia de x. El coeficiente de X2 en el lado derecho deberá ser igual al izquierdo. Esto da el valor de a. También el coeficiente de x en el lado derecho debe ser igual al izquierdo. Esto nos lleva a la formación de una ecuación en a y h; que puede ser solucionada sustituyendo el valor de a; el cual ya fue encontrado. Asimismo, el coeficiente de x0, o 1, en el lado izquierdo debe ser igual al lado derecho. Mediante la comparación de los productos de una ecuación podremos obtener el valor de k.
      • Podemos escribir la ecuación en la forma deseada a través del uso de los valores de a, h y k.
  3. Asegúrate que el valor de h se encuentre, ya sea en el límite del dominio, o fuera de este. El valor de h brinda la coordenada x del punto de inflexión de la ecuación. Un punto de inflexión dentro del dominio significará que la función no es uno a uno, por tanto no tiene un inverso. Fíjate que la ecuación es a(x-h)2+k. Por consiguiente, si tenemos (x+3) dentro del paréntesis, el valor de H serán -3.
  4. Haz que (x-h)2 sea el sujeto de tu fórmula. Puedes hacerlo mediante la sustracción del valor de K de ambos lados de la ecuación; y después dividiendo ambos lados entre a. Ahora tendrá valores numéricos para a, h y k; utilízalos, no hagas uso de los símbolos.
  5. Saca la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. Esto permitirá retirar la potencia de dos de (x-h). No olvides colocar el símbolo +/- en el otro lado de la ecuación.
  6. Decide entre los símbolos + y -; ya que no puedes tener ambos (los dos símbolos convertirán una función de uno en una función múltiple; lo cual provocará que sea inválida). Para esto, observa el dominio. Si el dominio se extiende a la izquierda del punto estacionario; por ejemplo: x < valor determinado; utiliza el signo -. Si el dominio se extiende a la derecha del punto estacionario; por ejemplo: x > valor determinado; utiliza el signo +. Posteriormente, haz que x sea el sujeto de tu fórmula.
  7. Reemplaza y con x, y x con f1(x); y felicítate por encontrar exitosamente la inversa de la función cuadrática.

Consejos

    • Comprueba tu inversa mediante el cálculo del valor de f(x) por un valor determinado de x; y después sustituya ese valor de f(x) en la inversa; para confirmar que el resultado sea el valor original de x. Por ejemplo, si la función de 3[f (3)] es 4, entonces sustituyendo 4 en la inversa deberá dar como resultado 3.
    • Asimismo, si no es muy difícil, puedes comprobar tu inversa en el gráfico. Deberás observar que la función original se refleja a través de la línea y=x.
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