Cómo sumar o restar vectores

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Los vectores son representaciones geométricas de magnitudes físicas que constan de un módulo (longitud), de una dirección y de un sentido, como por ejemplo la velocidad, la aceleración y el desplazamiento, a diferencia de las magnitudes escalares, que sólo se representan con un valor numérico, como por ejemplo la velocidad, la distancia y la energía. Mientras que las magnitudes escalares se pueden sumar añadiendo los distintos valores numéricos (por ejemplo, 5 kJ de trabajo más 6 kJ de trabajo suman 11 kJ de trabajo), sumar y restar vectores es ligeramente más complicado. Lee este artículo si quieres aprender distintas formas de sumar y restar vectores.  

Sumar y restar vectores con componentes conocidas

  1. Expresa las componentes dimensionales de un vector con notación vectorial. Dado que los vectores tienen una magnitud escalar y otra direccional, normalmente se pueden dividir dimensionalmente en distintas partes basándonos en sus coordenadas x, y y/o z. Estas dimensiones suelen expresarse con una notación parecida a la que se utiliza para localizar puntos en un sistema de coordenadas (por ejemplo, <x,y,z>). Si conocemos estas componentes, sumar o restar vectores es tan sencillo como sumar o restar sus coordenadas x, y y z.
    • Ten en cuenta que los vectores pueden tener 1, 2 o 3 dimensiones. Por lo tanto, los vectores pueden tener solo una componente x, las componentes x e y, o las componentes x, y y z. El ejemplo que puedes ver abajo muestra vectores tridimensionales, pero el proceso es el mismo para los vectores bidimensionales y unidimensionales.
    • Supongamos que tenemos dos vectores tridimensionales A y B. Podemos expresar estos vectores en notación vectorial como A = <a1, b1, c1> y B = <a2, b2, c2>, donde a1 y a2 son sus componentes x, b1 y b2 son sus componentes y, y c1 y c2 son sus componentes z.
  2. Para sumar dos vectores, suma sus componentes. Si conocemos las componentes de dos vectores, estos vectores se pueden sumar sumando sus correspondientes componentes dimensionales. En otras palabras, suma la componente x del primer vector con la componente x del segundo y haz lo mismo para las componentes y y z. Los resultados que obtengas después de sumar las componentes x, y y z de los vectores originales son las componentes x, y y z del nuevo vector.
    • En términos generales, A+B = <a1+a2,b1+b2,c1+c2>.
    • Sumemos dos vectores A y B. A = <5, 9, -10> y B = <17, -3, -2>. A + B = <5+17, 9+-3, -10+-2>, o <22, 6, -12>.
  3. Para restar dos vectores, resta sus componentes. Como veremos más tarde, restarle un vector a otro puede ser equivalente a sumarle su "opuesto". Si conocemos las componentes de dos vectores, se le puede restar un vector a otro restándole las componentes del primero al segundo simplemente (o sumando sus negativos).
    • En términos generales, A-B = <a1-a2,b1-b2,c1-c2>
    • Restémosle al vector A el vector B. A = <18, 5, 3> and B = <-10, 9, -10>. A - B = <18--10, 5-9, 3--10>, or <28, -4, 13>.

Sumar y restar vectores mediante el método gráfico de unir la cabeza con la cola

  1. Representa los vectores gráficamente dibujándolos con la cabeza y la cola. Dado que los vectores tienen magnitud escalar y direccional, se puede decir que tienen cabeza y cola. En otras palabras, se puede decir que un vector se inicia en un punto y termina en otro, en la dirección en la que la distancia entre el punto de inicio y el punto final es igual a la magnitud escalar de dicho vector. Cuando se representan gráficamente, los vectores tienen forma de flecha. La punta de la flecha es la "cabeza", y la base de la flecha es la "cola".
    • Si dibujas un vector a escala, ten cuidado de medir y dibujar todos los ángulos con precisión. Si los ángulos no tienen la medida adecuada, la imprecisión se reflejará en el resultado de la suma o la resta de vectores por el método gráfico.
  2. Para sumar, dibuja o desplaza el segundo vector de forma que su cola coincida con la cabeza del primero. A esto se le llama "unir la cabeza con la cola". Si simplemente quieres sumar dos vectores, esto es lo único que tendrás que hacer antes de hallar el vector resultante.
    • Ten en cuenta que el orden en el que unas los vectores no es importante, siempre que utilices el mismo punto de inicio. Vector A + Vector B = Vector B + Vector A
  3. Para restar, suma el "negativo" del vector. Restar vectores gráficamente es bastante sencillo. Solo tienes que invertir el sentido del vector manteniendo su dirección y su magnitud escalar y sumárselo al otro vector cabeza con cola como lo harías para cualquier suma de vectores. En otras palabras, para restarle un vector a otro, gira el primero 180º sobre sí mismo y súmaselo al segundo.
  4. Si quieres sumar o restar más de dos vectores, une todos los vectores cabeza con cola de forma consecutiva. El orden en el que unas los vectores no importa. Este método se puede utilizar para cualquier número de vectores.
  5. Dibuja un nuevo vector desde la cola del primer vector hasta la cabeza del último. Independientemente de que quieras sumar o restar dos vectores (o cientos de ellos), el vector que se extiende desde el punto original de inicio (la cola del primer vector) hasta el punto final de los vectores sumados (la cabeza del último) es el vector resultante, o la suma de todos los vectores. Ten en cuenta que este vector es idéntico al vector obtenido sumando las componentes x, y y z de todos los vectores.
    • Si dibujas todos los vectores a escala, midiendo sus ángulos con exactitud, puedes hallar la magnitud escalar del vector resultante midiendo su longitud. También puedes medir el ángulo que el vector resultante forma con un vector especificado, con la horizontal o con la vertical para hallar su dirección.
    • Si no dibujas todos los vectores a escala, probablemente tengas que calcular la magnitud escalar del resultante mediante la trigonometría. La ley del seno y la ley del coseno pueden resultarte útiles en este caso. Si sumas más de dos vectores, es aconsejable sumar primero dos, después sumar la resultante a un tercer vector, y así consecutivamente. Lee el siguiente paso para obtener más información.
  6. Representa el vector resultante mediante su módulo, su dirección y su sentido. Los vectores se definen por su módulo (longitud), su dirección y su sentido. Como hemos indicado antes, si dibujas los vectores con precisión, la magnitud escalar o módulo del vector resultante corresponde a su longitud, y su dirección viene dada por el ángulo que forma con la vertical, la horizontal, etc. Utiliza las unidades de los vectores sumados o restados para expresar la magnitud del vector resultante.
    • Por ejemplo, si los vectores sumados representan velocidades en ms, podemos definir el vector resultante como "una velocidad de x ms a y de la horizontal".

Sumar y restar vectores hallando sus componentes dimensionales

  1. Utiliza la trigonometría para hallar las componentes de un vector. Para hallar las componentes de un vector, normalmente es necesario conocer su módulo, su dirección y su sentido en relación a la horizontal o a la vertical, además de poseer conocimientos de trigonometría. Suponiendo que tenemos un vector bidimensional, primero sitúalo como la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos (los otros dos lados) son paralelos al eje Y y al eje X. Puedes visualizar estos dos lados como las componentes situadas cabeza con cola cuya suma genera como resultado el vector original.
    • Las longitudes de los dos lados son iguales a los módulos de las componentes x e y del vector y se pueden calcular utilizando las leyes trigonométricas. Si "x" es el módulo del vector, el lado adyacente al ángulo del vector (en relación a la horizontal, vertical, etc.) es xcos(θ), mientras que el lado opuesto es xsin(θ).
    • También es importante tener en cuenta la dirección y el sentido de las componentes. Si la componente apunta al sentido negativo de uno de los ejes, su magnitud se expresa con un signo negativo. Por ejemplo, en un plano bidimensional, si una componente apunta hacia la izquierda o hacia abajo, se precede de un signo negativo.
    • Por ejemplo, supongamos que tenemos un vector de módulo 3 y forma un ángulo de 135 con la horizontal. Con esta información, podemos determinar que su componente x es 3cos(135) = -2.12 y que su componente y es 3sin(135) = 2.12.
  2. Suma o resta las componentes correspondientes a dos o más vectores. Una vez que hayas calculado las componentes de todos los vectores, solo tendrás que sumar sus magnitudes para hallar las componentes del vector resultante. Primero, suma las magnitudes de las componentes horizontales (paralelas al eje X). Por separado, suma todas las magnitudes de las componentes verticales (paralelas al eje Y). Si una componente tiene un signo negativo (-), su módulo se resta en lugar de sumarse. El resultado que obtengas corresponderá a las componentes del vector resultante.
    • Por ejemplo, supongamos que queremos sumar el vector del paso anterior, <-2.12, 2.12> y el vector <5.78, -9>. En tal caso, el vector resultante sería <-2.12+5.78, 2.12-9>, or <3.66, -6.88>.
  3. Calcula el módulo del vector resultante utilizando el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras, c=a+b, sirve para hallar la longitud de los lados de un triángulo rectángulo. Dado que el triángulo formado por el vector resultante y sus componentes es un triángulo rectángulo, podemos utilizar este teorema para hallar la longitud del vector y, por lo tanto, su módulo. Considera c como el módulo del vector resultante, el cual tienes que hallar, a como el módulo de la componente x y b como el módulo de la componente y. Resuelve la operación algebraicamente.
    • Para hallar la magnitud del vector cuyas componentes hemos calculado en el paso anterior, <3.66, -6.88>, utilizaremos el teorema de Pitágoras. Resuelve la operación de la siguiente forma:
      • c=(3.66)+(-6.88)
      • c=13.40+47.33
      • c=√60.73 = 7.79
  4. Halla la dirección y el sentido del vector resultante con la función tangencial. Para terminar, halla la dirección y el sentido del vector resultante. Utiliza la fórmula θ=tan(b/a), donde θ es el ángulo que el vector resultante forma con el eje X u horizontal, b es el módulo de la componente y, y a es el módulo de la componente x.
    • Para hallar la dirección y el sentido del vector que hemos utilizado como ejemplo, emplearemos la fórmula θ=tan(b/a).
      • θ=tan(-6.88/3.66)
      • θ=tan(-1.88)
      • θ=-61.99
  5. Representa el vector resultante teniendo en cuenta su módulo, su dirección y su sentido. Como ya hemos indicado antes, los vectores se definen por su módulo, su dirección y su sentido. Asegúrate de utilizar las unidades apropiadas para expresar la magnitud del vector.
    • Por ejemplo, si el vector en cuestión representa una fuerza (en newtons), podemos expresarlo como "una fuerza de 7.79 N que forma -61.99 con la horizontal".

Consejos

  • Las magnitudes vectoriales no deben confundirse con las magnitudes escalares.
  • Los vectores que tengan misma dirección y mismo sentido pueden sumarse o restarse mediante la suma o la resta, respectivamente, de sus módulos. Si sumas dos vectores con sentido opuesto, sus módulos deberán restarse , no sumarse.
  • Puedes hallar el módulo de un vector tridimensional utilizando la fórmula a=b+c+d , donde a es el módulo del vector, y b, c, y d son las distintas componentes dimensionales.
  • Los vectores representados mediante la forma xi + yj + zk se pueden sumar o restar sumando o restando los coeficientes de cada vector unidad. La respuesta se expresará también mediante la forma i, j, k.
  • Los vectores expresados en columnas se pueden sumar o restar sumando o restando los valores numéricos de cada fila.
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