Cómo resolver una matriz de 2x3

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten un conjunto de incógnitas y, por lo tanto, tienen una solución en común. Para una ecuación lineal, cuyo gráfico es una línea recta, la solución común para un sistema es el punto en donde se intersectan las líneas. Las matrices pueden ayudar a reescribir y resolver los sistemas lineales.

Entiende los principios básicos

  1. Conoce la terminología. Las ecuaciones lineales tienen distintos componentes. La variable (o incógnita) es un símbolo (por lo general es una letra como x o y) que representa un número que aún se desconoce. La constante es un número que permanece consistente. El coeficiente es un número que se coloca antes de una variable y se utiliza para multiplicarla.
    • Por ejemplo, en la ecuación lineal 2x + 4y = 8, x e y son variables. La constante es 8. Los números 2 y 4 son coeficientes.
  2. Reconoce la forma de un sistema de ecuaciones. Un sistema de ecuaciones con dos variables puede escribirse del siguiente modo: ax + by = p cx + dy = q Cualquiera de las constantes (p, q) puede ser cero, pero cada ecuación tiene que tener por lo menos una variable (x, y) en ella.
  3. Entiende las ecuaciones matriciales. Cuando tienes un sistema lineal, puedes utilizar matrices para reescribirlo y luego utilizar las propiedades algebraicas de esa matriz para resolverlo. Para reescribir un sistema lineal, utiliza A para representar la matriz de coeficientes, C para representar la matriz de constantes y X para representar la matriz de incógnitas
    • El sistema lineal anterior, por ejemplo, puede reescribirse como una ecuación matricial de la siguiente forma: A x X = C.
  4. Entiende las matrices ampliada. Una matriz ampliada es una matriz que se obtiene juntando las columnas de dos matrices. Si tienes dos matrices, A y C, que se vean así: Puedes crear una matriz ampliada juntando ambas matrices. La matriz ampliada se vería así:
    • Por ejemplo, considera el siguiente sistema lineal: 2x + 4y = 8 x + y = 2 Tu matriz aumentada sería una matriz de 2x3 que se vería así:

Transforma la matriz aumentada para resolver el sistema

  1. Entiende las operaciones elementales. Puedes realizar ciertas operaciones sobre una matriz para transformarla y a la vez mantener una matriz equivalente a la original. Estas se llaman operaciones elementales. Para resolver una matriz de 2x3, por ejemplo, utiliza las operaciones elementales de fila para transformarla en una matriz triangular. Las operaciones elementales son:
    • Intercambiar dos filas.
    • Multiplicar una fila por una constante distinta de cero.
    • Multiplicar un fila y luego sumarle otra fila.
  2. Multiplica la segunda fila por un número distinto de cero. Debes producir un cero en tu segunda fila, así que multiplica la primera fila por un número que te permita hacer eso.
    • Por ejemplo, supón que tienes una matriz que se ve así: Puedes mantener igual la primer fila y utilizarla para producir un cero en la segunda. Para hacer esto, primero multiplica la segunda fila por dos así:
  3. Multiplica nuevamente. Para obtener un cero en la primera fila, es posible que debas multiplicar nuevamente, utilizando el mismo principio.
    • En el ejemplo anterior, multiplica la segunda fila por -1 del siguiente modo: Cuando hayas realizado la multiplicación, tu nueva matriz se verá así:
  4. Suma la primera fila a la segunda. Luego, suma la primera fila a la segunda para producir un cero en la primera columna de la segunda fila.
    • En el ejemplo anterior, suma las dos filas del siguiente modo:
  5. Anota el sistema lineal nuevo para la matriz triangular. Ahora tienes una matriz triangular. Puedes utilizar esa matriz para obtener un sistema lineal nuevo. La primera columna corresponde a la variable x y la segunda columna corresponde a variable y. La tercera columna corresponde al término independiente de una ecuación.
    • Para el ejemplo anterior, tu sistema nuevo debería verse así:
  6. Encuentra una de las variables. Utilizando el sistema nuevo, determina qué variable puedes resolver fácilmente y encuentra su valor.
    • En el ejemplo anterior deberás “resolver hacia atrás”, yendo desde la última ecuación hasta la primera para encontrar los valores de las incógnitas. La segunda ecuación es fácil de resolver para encontrar y; ya que eliminaste x, puedes ver que y = 2.
  7. Sustituye para encontrar la segunda variable. Una vez que hayas determinado una de las variables, puedes sustituir su valor en otra ecuación para encontrar la otra variable.
    • En el ejemplo anterior, reemplaza la y de la primera ecuación por 2 para obtener el valor de x de la siguiente manera:

Consejos

  • Los elementos que se encuentran dentro de la matriz generalmente se los denomina como “escalares”.
  • Recuerda que, para resolver una matriz de 2x3, solo debes utilizar operaciones elementales de fila. No puedes utilizar operaciones de columna.
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