Cómo dibujar un lugar de raíces de un sistema

Un sistema con retroalimentación se vuelve estable cuando las ecuaciones que describen dicho sistema poseen raíces que siguen ciertos patrones. De otro modo, el sistema se volverá inestable. Un ejemplo de dicho sistema inestable es cuando los micrófonos emiten chillidos. Parte de la voz del altavoz se retroalimente al micrófono y se amplifica en los amplificadores y luego regresa a los altavoces y nuevamente al micrófono, creando un bucle que se repite una y otra vez hasta saturar los amplificadores que crean un ruido agudo. La retroalimentación algunas veces mantiene el sistema en el margen de la inestabilidad y empieza a hacer que el sistema oscile. Esto podría ser útil en la electrónica y en otras partes, para tener una oscilación continúa; en un dispositivo como un reloj. Pero si el margen no se calcula con cuidado, un pequeño cambio puede devastar el sistema hasta destruirlo. Esto se ve, por ejemplo, cuando algunos puentes colapsan debido a que se vuelven oscilantes, luego pasan a una inestabilidad desbocada cuando las personas, los carros o los trenes pasan sobre ellos. Un puente recién construido en Londres, abierto a peatones para el milenio, estaba cerca de este estado el primer día de su inauguración, pero debido a que permaneció bajo la observación cuidadosa de los constructores, pudo contenerse y el desastre no sucedió. El lugar de raíces ayuda a los ingenieros a predecir la especificación de sus sistemas para cumplir el criterio de estabilidad. A pesar de que toda la academia está llena de una plétora de programas para dibujar “el lugar de raíces”, aun así es fascinante para los aprendices de ingeniería saber el bosquejo conceptual de este método.

Preliminares

  1. Aprende que el sistema más simple tiene una entrada y una salida. El sistema se ubica entre estos dos. La entrada entra al sistema, luego se altera y después sale como la salida que se espera. Un sistema está hecho para crear dicha alteración que se espera para la salida.
  2. Muestra un sistema en una caja. La entrada entra a ella como una flecha y la salida sale de ella como una flecha.
    • Cualquier cosa que el sistema le haga a la entrada se llama función del sistema.
    • Antes de ejecutar esa función, un sistema siempre hace una de tres cosas a su entrada,
      • Este lugar de raíces se llama lugar de raíces de 180°
      • Simplemente reduce esa entrada. En este caso, se dice que el coeficiente de amplificación es menor a uno (0 < K < 1).
      • Simplemente la mantiene en el mismo valor. En este caso, se dice que el coeficiente de amplificación es igual a uno (K=1).
      • Simplemente la aumenta. En este caso, se dice que el coeficiente de amplificación es mayor a uno (K>1).
    • Antes de ejecutar esa función un sistema podría invertir la entrada, y después de eso, siempre hacer una de tres cosas a su entrada,
      • Este lugar de raíces se llama lugar de raíces 0°.
      • Simplemente reduce esa entrada invertida. En este caso, se dice que el coeficiente de amplificación es mayor a menos uno ( – 1 < K < 0).
      • Simplemente lo mantiene en el mismo valor. En este caso, se dice que el coeficiente de amplificación es igual a menos uno (K= – 1)
      • Simplemente lo aumenta. En este caso, se dice que el coeficiente de amplificación es menor a menos uno (K < – 1).
    • K se llama “ganancia” del sistema.
    • Un sistema con la retroalimentación tiene un camino de la salida hasta la entrada, y participa y comparte algo de la salida hasta la entrada.
  3. Recuerda que un sistema sin una retroalimentación, en notación de ingeniería, es como el que se muestra en la imagen. La relación de la salida a la entrada se describe como la multiplicación de la entrada X(s) por la función del sistema G(s) para dar como resultado, la salida Y(s). Esto es, Y(s) = G(s)X(s).
  4. Manipula el resultado final para obtener el resultado.
  5. Usa, entonces, las mismas notaciones formales a partir de ahora. Por favor, nota que dentro de la cruz (X), hay un signo de más (+) para la entrada y un signo de menos (-) para la retroalimentación. La salida viene, y a través de un camino de retroalimentación, va a cambiar la entrada. Cuando la salida Y(s) sale de la retroalimentación, se convierte en Y(s) por H(s) (esto es, Y(s)H(s)), y se resta de la entrada X(s). Por eso, en realidad X(s) –Y(s)H(s) va al sistema. X(s) –Y(s)H(s) va al sistema, se multiplica por la función del sistema y sale como (X(s) –Y(s)H(s))G(s). Por eso, la salida Y(s) es realmente, Y(s) = (X(s) –Y(s)H(s))G(s)
  6. Manipula el resultado final para obtener el resultado.
  7. Nota que el radio Y(s) / X(s), sea cual fuere, se llama función de transferencia.
    • La función de transferencia como en la ecuación 2 se conoce como la función de transferencia de bucle cerrado.
    • El producto G(s)H(s) en la ecuación 2 se conoce como la función de transferencia de bucle abierto.
  8. Ten en mente que puedes tener una ecuación, 1 + H(s)G(s) = 0. Esta ecuación se llama ecuación característica del sistema.
  9. Recuerda. Todas las funciones mencionadas, incluso cada una de las X(s) o Y(s) en sí mismas, son funciones racionales de la variable compleja s.
  10. También recuerda que una función racional compleja, es el radio de dos polinomios complejos. Por ejemplo, H(s) = n(s) / d(s).
  11. Compara el radio de Y(s) / X(s) en dos sistemas, sin retroalimentación y con retroalimentación, para saber cuál es el efecto de la retroalimentación en un sistema.
  12. Haz un simple cálculo para convencerte de que la función de retroalimentación puede ser tragada por la entrada, antes del punto de comparación.
  13. Observa la retroalimentación simple. Frecuentemente, en el bucle de retroalimentación, la función de retroalimentación es una unidad; esto es, H(s) = 1.
  14. Escribe la ecuación 2, a continuación, como,
  15. La ganancia separada K. Es mejor separar la ganancia del sistema como un bloque independiente. Es correcto que ahora esta G(s) no sea la misma que la anterior G(s), pues su ganancia K se removió de ella, pero es conveniente seguir usando la misma notación para ella, como si tuviéramos un bloque K y un bloque G(s) desde el principio.
  16. A continuación, escribe la ecuación 3 como,
  17. Nota que el denominador, determina la estabilidad del sistema. Debes saber cuándo este denominador se convierte en cero o se aproxima a cero en el momento en que la ganancia del sistema, K, como parámetro, cambia. Debes revisar 1 + KG(s) = 0. Or G(s) = – 1 / K. Asume que K > 0 y luego averigua lo que sucede por simetría si K < 0. Para una comprensión total, incluso en el caso irrelevante K = 0 también debe discutirse.
  18. Calcula la magnitud (modulo) y ángulo (argument) de G(s). Por consecuencia, nota que |G(s)| = 1 / K and /G(s) = 180°q; en donde, “q” es un número entero impar. Este símbolo /___ muestra el ángulo de una función compleja.
  19. Recuerda que G(s) es una función racional; esto es, igual a un polinomio dividido por un polinomio, ambos en la misma variable “s”. Por ello,
  20. Observa que, generalmente, no es fácil encontrar raíces de un polinomio de grado mayor a tres o cuatro, y escribirlo en sus factores de raíces, como está hecho en la ecuación 5. Esto es un obstáculo al dibujar el lugar de las raíces. De cualquier manera, por ahora, se asume que se conoce cada factorización. En consecuencia, para un polinomio de grado n se tiene n raíces complejas r i
  21. Empieza del sistema más simple. La ecuación característica resulta ser s + K = 0. Cambiar K de 0 ascendentemente, cambia s de 0 a – ∞ descendentemente.
  22. Recuerda. En la escuela secundaria te pedían resolver cosas como determinar un parámetro β tal que una ecuación cuadrática x + x + β = 0 tenga dos raíces iguales. Esta era un problema básico del lugar de raíces parametrizado con β. Lo que debes hacer es calcular el discriminante e igualarlo a cero para cumplir la condición indicada: Δ = 1 - 4β = 0 y, por tanto β = 1 / 4.
  23. Resuelve un lugar de raíces similar para el sistema de control representado en el bucle de retroalimentación a continuación. En lugar del discriminante, la función característica será investigada; esto es 1 + K (1 / s(s + 1) = 0. Una manipulación de esta ecuación llega a la conclusión que s + s + K = 0.
  24. Haz preguntas con respecto a K.
  25. Empieza de K = 0. Tienes dos raíces reales s = 0 y s = – 1, pues la ecuación característica es s + s = 0.
  26. Incrementa K. Tienes aún dos raíces reales, hasta K = 1 / 4, en donde las dos raíces serán iguales; esto es s1 = s2 = – 1 / 2.
  27. Incrementa K > 1 / 4. El discriminante será negativo. Tienes dos raíces imaginarias como una conjugación compleja entre sí. Pero el valor real de ambas raíces sigue siendo la misma e igual a – 1 / 2. Incrementar K no tiene efecto alguno en esto; solo las partes imaginarias se harán más grandes. El lugar de raíces se dibujó en líneas gruesas.
    • Hay dos raíces para este polinomio cuadrático y definitivamente se unieron en un punto en la línea real para un cierto valor de parámetro K que hace al discriminante igual a cero y crea una raíz repetida.
    • La porción de la línea real entre estas dos raíces es parte del lugar de raíces.
    • Este punto se llama punto-o o punto de ramificación de las asíntotas del lugar de raíces.
    • Hasta este valor de K el sistema se apaga sin exceso o déficit (no se estremece antes de apagarse).
    • En K = 1 / 4 el sistema se amortigua críticamente.
    • Luego de eso, incrementar K solo incrementa la parte imaginaria de la conjugación de raíces creada.
    • Eso coloca a la ramificación del lugar de raíces en perpendicular a la línea real.
    • Teóricamente, todo a lo largo de este sistema se apaga, pero con temblores. Prácticamente, incrementar la ganancia puede hacer al sistema inestable. Los temblores se pueden hacer tan persistentes que desencadenan frecuencias no deseadas en el sistema, que a su vez llevan al sistema más allá de su fuerza material. Por ejemplo, fisuras pequeñas alcanzan puntos catastróficos o la fatiga dinámica lo fuerza. Los diseñadores siempre planean para prevención de un aumento ilimitado de K.
  28. Conoce el significado de las cosas que ocurren en el plano complejo. Cualquier punto arbitrario en el plano complejo puede mostrarse por un vector, que tiene una longitud y un ángulo con respecto de la línea real.
    • r es la raíz de s + r = 0
    • s se dice que es el punto de prueba para evaluar – r.
    • Cualquier selección de s sobre la línea real se llama evaluación de “línea-real” de – r.
  29. Nota que el plano complejo no es como la línea real.
    • En la línea real estás confinado en los intervalos. Una integral tiene solo dos puntos finales para ser evaluados.
    • En el plano complejo no puedes deambular por donde sea. En contraste, tienes que seleccionar una región para confinar tus evaluaciones. Incluso eso es mucho. Confinas tus evaluaciones solo para hacerlas en una cierta curva o cierto (usualmente simple) camino.
  30. Evalúa el punto de prueba arbitrario s1 con respecto a la raíz del polinomio s + 2 = 0. Es un vector desde la punta de s1 a la punta de r.
  31. Asume que tienes cierto número de raíces reales en la línea real. Pregunta qué parte de la línea real cae en el lugar de raíces cuando la ganancia k varía de cero a más infinito.
    • Selecciona cualquier punto en la línea real, si el número de las raíces reales (ceros y polos) a la derecha de esa raíz es un número impar (1, 3, 5, …), entonces esa porción de la línea real está también en el lugar de raíces.
    • En el integrador simple, todos los puntos en la parte negativa de la línea real tienen solo una raíz al lado derecho. Por eso, toda la línea real negativa está en el lugar de raíces.
    • En el sistema de control del motor, solo aquellos puntos de la línea real entre s = 0 y s = – 1 tienen número impar de raíces al lado derecho. Por eso, solo la porción entre s = 0 and s = – 1 está en el lugar de raíces.
  32. Recuerda que la función característica para el bucle de retroalimentación general era 1 + G(s)H(s) = 0. Quita la ganancia K donde sea que esté, como un parámetro separado y escribe la ecuación característica, donde F(s) es una función racional; esto es, F(s) = N(s) / D(s). Tanto N(s) como D(s) son polinomios.
    • Las raíces de N(s), esto es, los ceros de F(s) son un polinomio de grado m.
    • Las raíces de D(s), esto es, los polos de F(s) son un polinomio de grado n.
    • La función característica del integrador simple es 1 + K / s = 0.
      • F(s) = 1 / s.
    • La función característica del sistema de control del motor es 1 + K / s (1 + s) = 0.
      • F(s) = 1 / s (1 + s).
  33. Reconoce un sistema “apropiado”. En un sistema apropiado m < n, el número de ceros es estrictamente menor al número de polos. Es decir, el sistema no retrocede o tolera transiciones infinitas.
  34. Conoce el significado de las ramas. Las ramas son caminos que las raíces de la función característica crean cuando el valor de la ganancia K varía de cero al infinito. Cada valor de K da una nueva función característica con raíces diferentes.
    • Si quieres poner valores diferentes a K en la ecuación característica y resolver los polinomios para obtener las raíces, ya sea que tengas que usar una computadora o métodos gráficos como el lugar de raíces para bosquejar las soluciones.

Dibuja el lugar de raíces

  1. Aprende la regla básica. Un lugar de raíces es simétrico con respecto al eje del plano complejo.
  2. Aprende la primera y la más simple regla para dibujar el lugar de raíces. El número de ramas del lugar de raíces es el mismo que el número de las raíces de D(s); es decir, el número de polos de F(s).
    • El integrador simple tiene un polo. Tiene una rama.
    • El sistema de control del motor tiene dos polos, uno en s = 0 y el otro en s = – 1. Tiene dos ramas.
  3. Sigue para aprender la segunda regla más simple. Cuando K varía de cero al infinito, las ramas del lugar de raíces podrían aproximarse asintóticamente al infinito.
    • Todas estas asíntotas se intersecan en un punto de la línea real.
    • El punto de intersección se llama el punto σ-.
    • Calcula el punto σ- de,
    • Añade todos los polos, luego resta de ello el resultado de la adición de todos los ceros. Ahora divide el resultado por la diferencia de los números de los polos y el número de los ceros.
      • El punto sigma para el integrador simple es σ = 0
      • El punto sigma para el control del motor es σ = (0 – 1) / 2 = – 1 / 2
    • No confundas las asíntotas con las ramas. Las asíntotas llevan a las ramas al infinito.
    • Recuerda que las ramas de línea recta son sus propias asíntotas, si se mueven al infinito.
  4. Aprende lo que es un cero al infinito. En todos los casos en que m < n, un valor de s →∞ hace que F(s) → 0. Esto se llama un cero al infinito.
  5. Interpreta de la ecuación 7 que puedes manipularla para tener F(s) = – 1 / K. Esto significa que K = 0 haceF(s) = ∞. Pero tú sabes que F(s) se convierte en infinito en sus propios polos. Por eso, las ramas del lugar de raíces siempre empiezan de los polos, donde al mismo tiempo K es cero.
    • Llega simplemente a la conclusión de que siempre hay ramas n levantándose (originándose) de los polos n de F(s).
  6. Pregúntate, ¿dónde aterrizan (terminan) las ramas? Las ramas m terminan en los ceros m. Las restantes ramas nm van al infinito, lo que se considera como ceros al infinito.
  7. Valora la tercera regla. La tercera regla determina los ángulos de asíntotas que dirigen a las ramas del lugar de raíces. Esta es igual a 180° / (nm).
    • Usa la simetría para dibujar todas las asíntotas.
  8. Aprende como una rama se aleja de un polo. Esto se llama el ángulo de partida de la rama desde el polo. Usa esta relación. Estudia qué es cada factor,
    • J : es el índice del polo bajo investigación. Debes calcular el ángulo de partida de ese polo específico.
    • φJ : es el ángulo de partido del polo J.
    • pJ : es el valor complejo del polo bajo investigación.
    • i: deambula entre el número de ceros del primer cero ( i = 1) al m-th cero (i = m).
    • pJ – zi : es la evaluación de pJ en zi.
    • k : deambula entre el número de polos del primer polo ( k = 1) al n-th polo (k = n).
      • k = J aparentemente no participan. Pero, aunque no sea así, no tiene significado; resulta pJ – pJ = 0; sin participación.
    • pJ – pk : es la evaluación de pJ en pk.
    • arg : demuestra que estás calculando el ángulo más pequeño del vector dentro de los corchetes [ ... ] con respecto al eje real.
    • q : es un entero impar. La mayoría de las veces solo q = 180° es suficiente.
  9. Entiende el significado de la ecuación anterior. Debes saber el ángulo de partida desde un cierto polo, entonces,
    • Determina el ángulo de cada cero evaluado por ese polo. Ponlos juntos.
    • Determina el ángulo de cada polo evaluado por ese polo. Ponlos juntos.
    • Resta los dos entre sí.
    • Añade 180° al resultado (algunas veces tiene que añadir – 180° o incluso 540°, o – 540°).
  10. Aprende cómo se mueve una rama hacia un cero. Esto se llama el ángulo de llegada de la rama a un cero. Usa esta relación para calcularlo. Estudia qué es cada factor,
    • J : es el índice del cero bajo investigación. Debes calcular el ángulo de partida de este cero específico.
    • ɸJ: es el ángulo de partida en el cero J.
    • zJ: es el valor complejo del cero bajo investigación.
    • k : deambula entre el número de polos del primer polo ( k = 1) to n-th pole (k = n).
    • zJ – pk : es la evaluación de zJ en pk.
    • i : deambula entre el número de los ceros del primer cero ( i = 1) al m-th cero (i = m).
      • i = J aparentemente no participan. Pero, aunque no sea así, no tiene significado; resulta zJ – zJ = 0; sin participación.
    • zJ – zi : es la evaluación de zJ en zi.
    • arg : demuestra que estás calculando el ángulo más pequeño del vector dentro de los corchetes [ ... ] con respecto al eje real.
    • q : es un entero impar. La mayoría de las veces solo q = 180° es suficiente.
  11. Entiende el significado de la ecuación anterior. Debes conocer el ángulo de partida en un cierto cero, entonces,
    • Determina el ángulo de cada polo evaluado por ese cero. Ponlos juntos.
    • Determina el ángulo de cada cero evaluado por ese cero. Ponlos juntos.
    • Resta los dos entre sí.
    • Añade 180° al resultado (algunas veces tiene que añadir – 180° o incluso 540°, o – 540°).
  12. Aprende sobre los corchetes huérfanos. Las ramas que dejan a los polos sin tener un cero al cual llegar se aproximarán al infinito por los lados de las asíntotas guardianas.
  13. Celebra que ahora estás aquí. Deja algunos puntos especulados para hacer el bosquejo más realista. Estos están hechos por la evaluación del punto de prueba o usando una calculadora básica (los tiempos en que tenías que usar las dolorosas reglas de cálculo quedaron atrás). Los mejores puntos para encontrar y la mayor parte de los puntos preocupantes, también, son puntos de "cruce" del “lugar de raíces” en los ejes imaginarios. Estos son los puntos que hacen al sistema oscilatorio y, luego, en la indicada mitad del plano complejo, el sistema se convierte en no de amortiguación e inestable.
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