Cómo calcular puntajes Z

Un puntaje Z te permite tomar cualquier muestra de un conjunto de datos y determinar a cuántas unidades de desviación estándar se encuentra por encima o por debajo de la media. Para hallar el puntaje Z de una muestra, necesitarás conocer la media, la varianza y la desviación estándar de la misma. Para calcular el puntaje Z, deberás hallar la diferencia entre un valor en la muestra y la media, para luego dividirla entre la desviación estándar. A pesar de que completar este método requiere muchos pasos, se trata de un cálculo bastante simple.

Calcular la media

  1. Observa el conjunto de datos. Necesitarás algunos datos clave para calcular la media o el promedio matemático de la muestra.
    • Ten en cuenta la cantidad de números que hay en la muestra. En el caso de la presente muestra de las palmeras, existen 5 números.
    • Determina lo que representan los números. En nuestro ejemplo, estos números representan a las medidas de los árboles.
    • Observa la variación en los números. ¿Los datos varían por mucho o por poco?
  2. Recolecta todos los datos. Necesitarás todos los números en la muestra para comenzar a realizar los cálculos.
    • La media es el promedio de todos los números en tu muestra.
    • Para calcularla, deberás sumar todos los números en la muestra y luego dividir el resultado entre el tamaño de la muestra.
    • En la notación matemática, “n” representa al tamaño de la muestra. En el caso de nuestra muestra con las alturas de los árboles, n = 5, ya que hay 5 números en ella.
  3. Suma todos los números en la muestra. Esta es la primera parte del cálculo del promedio matemático o la media.
    • Por ejemplo, utilizando la muestra de 5 palmeras, nuestro ejemplo se compone de los siguientes números: 7, 8, 8, 7,5 y 9.
    • 7 + 8 + 8 + 7,5 + 9 = 39,5. Esta es la suma de todos los números en la muestra.
    • Verifica tu respuesta para asegurarte de haber sumado correctamente.
  4. Divide la suma entre el tamaño de la muestra (n). Esto proporcionará el promedio o la media de los datos.
    • Por ejemplo, sigamos con nuestra muestra de las alturas de los árboles: 7, 8, 8, 7,5 y 9. Existen 5 números en nuestra muestra, así que n = 5.
    • La suma de las alturas de los árboles en la muestra es de 39,5. Por lo tanto, deberás dividir esta cifra entre 5 para hallar la media.
    • 39,5/5 = 7,9.
    • La altura promedio de los árboles es de 7,9 unidades. La media poblacional a menudo se representa con el símbolo μ, por lo tanto μ = 7,9.

Hallar la varianza

  1. Halla la varianza. La varianza es una cifra que representa la manera en que se distribuyen los datos de la muestra en la media.
    • Este cálculo te dará una idea de hasta qué punto se expanden los datos.
    • Las muestras con una varianza baja tienen datos que se distribuyen a corta distancia alrededor de la media.
    • Las muestras con una varianza alta tienen datos que se extienden más allá de la media.
    • Por lo general, la varianza se utiliza para comparar las distribuciones entre dos conjuntos de datos o muestras.
  2. Resta la media de cada uno de los números en tu muestra. Esto te dará una idea de cuánto difiere de la media cada número en tu muestra.
    • En nuestra muestra de las alturas de los árboles (7, 8, 8, 7,5 y 9 unidades), la media era de 7,9.
    • 7 – 7,9 = -0,9; 8 – 7,9 = 0,1; 8 – 7,9 = 0,1; 7,5 – 7,9 = -0,4 y 9 – 7,9 = 1,1
    • Realiza estos cálculos nuevamente para verificar tus resultados. Es sumamente importante que tengas las cifras correctas para este paso.
  3. Eleva al cuadrado todas las respuestas de las restas que acabas de hacer. Necesitarás todas estas cifras para determinar la varianza en la muestra.
    • Recuerda que en nuestra muestra restamos la media de 7,9 de cada uno de los puntos de datos (7, 8, 8, 7,5 y 9) y obtuvimos lo siguiente: -0,9, 0,1, 0,1, -0,4 y 1,1.
    • Eleva al cuadrado todas estas cifras: (-0,9)^2 = 0,81; (0,1)^2 = 0,01; (0,1)^2 = 0,01; (-0,4)^2 = 0,16 y (1,1)^2 = 1,21.
    • Los cuadrados de este cálculo son: 0,81, 0,01, 0,01, 0,16 y 1,21.
    • Verifica tus respuestas antes de continuar con el siguiente paso.
  4. Suma todos los números elevados al cuadrado. A este cálculo se le conoce como la suma de los cuadrados.
    • En nuestra muestra de las alturas de los árboles, los cuadrados fueron los siguientes: 0,81, 0,01, 0,01, 0,16 y 1,21.
    • 0,81 + 0,01 + 0,01 + 0,16 + 1,21 = 2,2
    • En nuestro ejemplo de las alturas de los árboles, la suma de los cuadrados es 2,2.
    • Verifica la suma para asegurarte de tener la cifra correcta antes de proseguir.
  5. Divide la suma de los cuadrados (n-1). Recuerda que “n” es el tamaño de la muestra (la cantidad de números que hay en la muestra). Este paso te proporcionará la varianza.
    • En la muestra de las alturas de los árboles (7, 8, 8, 7,5 y 9 unidades), la suma de los cuadrados fue 2,2.
    • Existen 5 números en esta muestra. Por lo tanto, n = 5.
    • n - 1 = 4
    • Recuerda que la suma de los cuadrados es 2,2. Para hallar la varianza, calcula lo siguiente: 2,2 / 4.
    • 2,2 / 4 = 0,55
    • Por lo tanto, la varianza para esta muestra de altura de los árboles es 0,55.

Calcular la desviación estándar

  1. Halla la cifra de la varianza. La necesitarás con la finalidad hallar la desviación estándar para la muestra.
    • La varianza es la dispersión en la que se encuentran los datos de la media o del promedio matemático.
    • La desviación estándar es una cifra que representa la dispersión de los datos en la muestra.
    • En nuestro ejemplo de la altura de los árboles, la varianza fue 0,55.
  2. Saca la raíz cuadrada de la varianza. Esta cifra es la desviación estándar.
    • En nuestro ejemplo de la altura de los árboles, la varianza fue 0,55.
    • √0,55 = 0,741619848709566. Por lo general, al hacer este cálculo obtendrás una cifra decimal bastante grande. Puedes redondear al segundo o tercer lugar decimal para determinar la cifra de desviación estándar. En este caso, podrías utilizar la cifra 0,74.
    • Empleando una cifra redondeada, la desviación estándar en nuestra muestra de la altura de los árboles será 0,74.
  3. Verifica los cálculos de la media, la varianza y la desviación estándar. Esto te permitirá asegurarte de tener la cifra correcta para la desviación estándar.
    • Anota todos los pasos que seguiste para realizar los cálculos.
    • Esto te permitirá determinar dónde cometiste un error, en caso de que lo hayas hecho.
    • Si obtuviste una cifra diferente para la media, la varianza y la desviación estándar durante el proceso de verificación, repite los cálculos con sumo cuidado.

Calcular los puntajes Z

  1. Utiliza el siguiente formato para hallar un puntaje Z: z = X - μ / σ. Esta fórmula te permitirá calcular un puntaje Z para cualquier dato en tu muestra.
    • Recuerda que un puntaje Z es una medida que indica a cuántas desviaciones estándares de distancia se encuentra un dato de la media.
    • En la fórmula, X representa la cifra que quieres examinar. Por ejemplo, si quisieras hallar a cuántas desviaciones estándares de distancia se encuentra 7,5 de la media en el ejemplo de las alturas de los árboles, deberás reemplazar X por dicho número dentro de la ecuación.
    • En la fórmula, μ representa la media. En nuestro ejemplo de las alturas de los árboles, la media fue de 7,9.
    • En la fórmula, σ representa la desviación estándar. En nuestro ejemplo de las alturas de los árboles, la desviación estándar fue de 0,74.
  2. Comienza a resolver la fórmula restando la media de los datos que quieres examinar. Esto dará inicio al cálculo para hallar un puntaje Z.
    • Por ejemplo, en nuestra muestra de las alturas de los árboles queremos determinar a cuántas desviaciones estándares de distancia se encuentra 7,5 de la media de 7,9.
    • Por lo tanto, deberás realizar la siguiente operación: 7,5 – 7,9.
    • 7,5 – 7,9 = -0,4
    • Verifica los resultados antes de continuar.
  3. Divide el resultado que acabas de obtener entre la desviación estándar. Este cálculo te dará el puntaje Z.
    • En nuestra muestra de las alturas de los árboles, queremos hallar el puntaje Z para el dato 7,5.
    • Ya restamos la media de 7,5 y obtuvimos como resultado -0,4.
    • Recuerda que la desviación estándar de nuestra muestra de alturas de los árboles fue 0,74.
    • - 0,4 / 0,74 = - 0,54
    • Por lo tanto, el puntaje Z en este caso es -0,54.
    • Este puntaje Z indicia que 7,5 se encuentra a -0.54 desviaciones estándar de distancia de la media en la muestra de las alturas de los árboles.
    • Los puntajes Z pueden ser positivos y negativos.
    • Un puntaje Z negativo indica que los datos son menores que la media. Por el contrario, un puntaje Z positivo indica que los datos en cuestión son mayores que la media.
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