Comment diviser des polynômes

Les polynômes peuvent être divisés de la même façon que des constantes numériques, soit en factorisant, soit en faisant une division longue. La méthode que vous devez utiliser dépend des complexités respectives du dividende polynomial et du diviseur.

Déterminer la méthode à utiliser

  1. Déterminez la complexité du diviseur. La complexité du diviseur (le polynôme qui divise) par rapport au dividende (le polynôme divisé) détermine la meilleure démarche à utiliser.
    • Si le polynôme est un monôme (un polynôme à un seul terme), c’est-à-dire qu’il est constitué d’une variable avec un coefficient ou d’une constante (un nombre qui n’est pas suivi d’une variable), vous pouvez probablement factoriser le dividende et faire s’annuler l’un des facteurs résultants avec le diviseur. Lisez la partie Factoriser le dividende pour avoir des instructions détaillées et des exemples.
    • Si le diviseur est un binôme (un polynôme à deux termes), vous pouvez peut-être factoriser le dividende et faire s’annuler l’un des facteurs résultants avec le diviseur.
    • Si le diviseur est un trinôme (un polynôme à trois termes), vous pouvez peut-être factoriser à la fois le dividende et le diviseur, faire s’annuler leur facteur commun, puis soit factoriser encore plus le dividende, soit faire une division longue.
    • Si le diviseur est un polynôme avec plus de trois facteurs, vous devrez probablement faire une division longue. Lisez la partie Utiliser une division longue pour avoir des instructions détaillées et des exemples.
  2. Évaluez la complexité du dividende. Si le polynôme diviseur de l’équation ne vous donne pas d’indice sur la façon de factoriser le dividende, regardez le dividende lui-même.
    • Si le dividende comporte trois termes ou moins, vous pourrez probablement le factoriser et faire s’annuler le diviseur.
    • Si le dividende comporte plus de trois termes, vous devrez probablement utiliser une division longue.

Factoriser le dividende

  1. Regardez si chaque terme du dividende contient un facteur commun avec le diviseur. Si c’est le cas, vous pouvez le factoriser et potentiellement faire s’annuler le diviseur.
    • Si vous divisez le binôme 3x – 9 par 3, vous pouvez mettre 3 en facteur dans les deux termes du binôme, ce qui donne 3(x – 3). Vous pouvez ensuite annuler le 3 et vous retrouver avec un quotient de x – 3.
    • Si vous divisez le binôme 24x - 18x par 6x, vous pouvez mettre 6x en facteur dans les deux termes du binôme, ce qui donne 6x(4x - 3). Vous pouvez annuler le 6x du diviseur, pour obtenir un quotient de 4x - 3.
  2. Cherchez des identités remarquables dans le dividende, qui pourraient vous aiguiller sur la mise en facteurs. Certains polynômes affichent des termes qui vous indiquent qu’une factorisation est possible. Si l’un de ces facteurs correspond au diviseur, vous pouvez les faire s’annuler, le facteur restant devenant donc le quotient de la division. Voici quelques identités remarquables à identifier :
    • La différence de carrés parfaits. Il s’agit d’un binôme de la forme a , où les valeurs de a et b sont des carrés parfaits. Ce binôme se factorise en deux binômes (ax + b)(ax – b), où a et b sont les racines carrées du coefficient et de la constante du premier binôme.
    • Un trinôme au carré parfait. Ce trinôme est de la forme ax + 2abx + b . Il se factorise en (ax + b)(ax + b), ce qui peut aussi s’écrire (ax + b). Si le signe du second terme est négatif, les facteurs binomiaux sont de la forme (ax – b)(ax – b).
    • Une somme ou une différence de cubes. Il s’agit d’un binôme de la forme ax + b ou ax - b, où les valeurs a et b sont des cubes parfaits. Ce binôme se factorise en un binôme et un trinôme. Une somme de cubes se factorise (ax + b)(ax - abx + b). Une différence de cubes devient (ax - b)(ax + abx + b).
  3. Faites des tâtonnements pour factoriser le dividende. Si vous ne distinguez pas une identité remarquable dans le dividende pour vous aider à le factoriser, vous pouvez essayer plusieurs combinaisons de factorisations possibles. Vous pouvez faire cela en regardant d’abord la constante et en lui trouvant plusieurs facteurs, ensuite en regardant le coefficient du terme intermédiaire.
    • Si par exemple le dividende est x - 3x – 10, vous chercherez les facteurs de 10 et utiliserez le 3 pour vous aider à déterminer quelle paire de facteurs est correcte.
    • Le nombre 10 peut être scindé en deux paires de facteurs : 1 et 10 ou 2 et 5. Comme le signe avant 10 est négatif, l’un des facteurs aura une constante de signe négatif.
    • Le nombre 3 est la différence entre 2 et 5, ainsi ces nombres peuvent être les constantes des facteurs binomiaux. Le signe du 3 étant négatif, le binôme avec le 5 doit être celui avec le nombre négatif. Les facteurs binomiaux sont donc (x – 5)(x + 2). Si le diviseur est l’un de ces deux facteurs, il devient facile de l’annuler et le facteur restant devient ainsi le quotient.

Utiliser une division longue de polynômes

  1. Préparez la division. Écrivez votre division longue de polynômes de la même façon que vous écririez une division de nombres. Le dividende se place sous la longue barre de division, tandis que le diviseur se place à sa gauche.
    • Si vous divisez x + 11 x + 10 par x +1, x + 11 x + 10 s’écrit sous la barre, tandis que x + 1 s’écrit à gauche de la barre.
  2. Divisez le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur. Le résultat de cette division se place en haut de la barre de division.
    • Dans notre exemple, on divise x, le premier terme du dividende, par x, le premier terme du diviseur, ce qui donne x. Vous devrez donc écrire x en haut de la barre de division, au-dessus de x.
  3. Multipliez le x du quotient par le diviseur. Écrivez le résultat de la multiplication sous les termes les plus à gauche du dividende.
    • Si l’on continue avec notre exemple, multiplier x + 1 par x donne x + x. Vous écrirez ceci sous les deux premiers termes du dividende.
  4. Soustrayez ce résultat au dividende. Pour cela, inversez d’abord les signes du produit de la multiplication. Après la soustraction, ramenez les termes restants du dividende.
    • Inverser les signes de x + x donne - x - x. Soustraire cela aux deux premiers termes du dividende donne 10x. Après avoir ramené les termes restants du dividende, vous obtenez 10x + 10 comme quotient intermédiaire afin de continuer la division.
  5. Répétez les étapes précédentes à partir du quotient intermédiaire. Vous allez à nouveau diviser le premier terme du diviseur par le quotient intermédiaire, écrire le résultat au-dessus de la barre de division après le premier terme du quotient, multiplier le résultat par le diviseur, puis calculer ce qui doit être soustrait au quotient intermédiaire.
    • Parce que x va 10 fois dans 10x, vous devrez écrire « + 10 » après le x dans l’emplacement du quotient au niveau de la barre de division.
    • Multiplier x + 1 par 10 donne 10x + 10. Vous pouvez écrire ceci sous le quotient intermédiaire et inverser les signes pour faire la soustraction, ce qui donne -10x – 10.
    • Lorsque vous effectuez la soustraction, le reste est de 0. Ainsi, diviser x + 11 x + 10 par x +1 donne un quotient de x + 10. (Vous auriez pu obtenir le même résultat en factorisant, mais cet exemple a été choisi pour faire une division longue assez simple.)

Conseils

  • Si vous obtenez un reste différent de zéro en effectuant une division longue, vous pouvez inclure ce reste dans le quotient en l’écrivant comme une fraction, le reste étant au numérateur et le diviseur au dénominateur. Si, dans notre exemple, le dividende avait été x + 11 x + 12 au lieu de x + 11 x + 10, la division par x + 1 aurait donné un reste de 2. Le quotient complet se serait alors écrit : x+10+2x+1{\displaystyle x+10+{\frac {2}{x+1}}}.
  • Si les termes de votre dividende sautent des degrés, par exemple 3x+9x+18, vous pouvez insérer le terme manquant avec un coefficient de zéro. Dans ce cas, écrire 0x permet de positionner plus facilement les autres termes pendant la division. Faire ceci ne change pas la valeur du dividende.
  • Sachez que certains livres d’algèbre écrivent les divisions longues de polynômes en justifiant les quotients et dividendes sur la droite ou en alignant les différents polynômes de telle sorte que les termes de même degré soient alignés les uns avec les autres. Vous trouverez cependant plus facile, lorsque vous faites la division à la main, de justifier le quotient et le dividende sur la gauche, comme décrit dans les étapes ci-dessus.

Avertissements

  • Gardez l’alignement de vos colonnes lorsque vous faites une division longue de polynômes, afin d’éviter de soustraire les mauvais termes.
  • Lorsque votre quotient inclue un terme de fraction, utilisez toujours un signe + entre le nombre entier (ou la variable entière) et le terme de fraction.
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