Comment additionner ou soustraire des vecteurs

Les vecteurs sont des quantités physiques définies par leur norme et leur direction. Par exemple, la vélocité, l’accélération et le déplacement sont des vecteurs, au contraire de la vitesse, de la distance ou de l’énergie qui sont des scalaires uniquement définis par leur norme. Si les scalaires peuvent être additionnés en calculant la somme de leurs normes (par exemple 5 kJ de travail + 6 kJ de travail = 11 kJ de travail), il est légèrement plus compliqué d’additionner ou de soustraire des vecteurs. Il vous sera expliqué dans cet article comment additionner et soustraire des vecteurs.

L’addition et la soustraction de vecteurs

  1. Considérons 2 vecteurs, le vecteur A et le vecteur B :
    • A=<a1,b1,c1>
    • B=<a2,b2,c2>
  2. Si nous voulons additionner le vecteur A et le vecteur B, alors :
    • A+B = <a1+a2,b1+b2,c1+c2>
  3. Si nous voulons soustraire le vecteur A et le vecteur B, alors :
    • A-B = <a1-a2,b1-b2,c1-c2>

Tête à queue

  1. Prenez n’importe quel vecteur, puis identifiez sa « tête » et sa « queue ». Il peut être utile de faire un dessin à l’échelle, ou un croquis rapide. Si vous faites un dessin à l’échelle, vous devez faire attention à dessiner les angles correctement.
  2. Faites glisser un autre vecteur de sorte que sa queue vienne toucher la tête du premier.
  3. Ajoutez ensuite tous les autres vecteurs. L’ordre dans lequel vous ajoutez les vecteurs n’a aucune importance, et cette méthode peut être utilisée quel que soit le nombre de vecteurs. Toutefois, ces vecteurs doivent être orientés de sorte à commencer à former un polygone.
  4. Joignez la queue du dernier vecteur à la tête du premier. Vous obtenez le vecteur résultant, ou encore la somme de tous vos vecteurs.
    • Si vous avez dessiné votre diagramme à l’échelle, en dessinant les angles exacts, vous pouvez alors mesurer la longueur du vecteur résultant à l’aide d’une règle. Vous pouvez aussi alors mesurer l’angle formé par le vecteur résultant et un autre vecteur spécifique, ou avec un vecteur horizontal/vertical, etc.
    • Si vous vous êtes contenté de faire un croquis, vous devrez alors calculer la norme du vecteur résultant grâce à la trigonométrie. Les fonctions sinus et cosinus vous seront probablement utiles. Si vous devez additionner plus de deux vecteurs, alors il sera plus simple de commencer par en additionner deux, puis additionner le vecteur résultant avec le troisième vecteur, et ainsi de suite.
  5. Représentez votre vecteur résultant. Par exemple, si les vecteurs représentaient des vélocités, alors écrivez "Une vélocité de x m.s à y à l’horizontale/la verticale/etc".

Composantes perpendiculaires

  1. Séparez chaque vecteur en deux composantes perpendiculaires. Par exemple, séparez chaque vecteur en une composante verticale et une composante horizontale. Il est commun de séparer des vecteurs le long des axes y et y dans un plan cartésien. Par convention, le vecteur unité le long de l’axe des x est noté i, celui le long de l’axe des y est noté j.
    • Pour trouver une force séparée en composantes, vous devrez connaître l’angle formé par cette force avec l’axe horizontal, l’axe vertical, l’axe des x ou l’axe des y. Une fois cet angle connu, vous pouvez construire un triangle-rectangle en considérant que la force en est l’hypoténuse et que les deux autres côtés sont les axes x et y. Les longueurs des deux autres côtés sont les normes des composantes dans ces directions, et peuvent être calculées à l’aide de la trigonométrie. Le côté adjacent à l’angle est égal à xcos(angle), et le côté opposé est égal à xsin(angle), où x est la norme de la force initiale.
    • Si une composante pointe vers la gauche ou vers le bas, un signe négatif (-) lui est attribué.
  2. Additionnez toutes les normes des composantes horizontales (soit celles le long de l’axe des x). Additionnez séparément toutes les normes des composantes verticales (soit celles de long de l’axe des y). Si une composante possède un signe négatif (-), vous devez alors soustraire et non additionner sa norme.
  3. Calculer la norme du vecteur résultant en utilisant le théorème de Pythagore. Le théorème peut s’écrire : c=a+b, où c est la norme du vecteur résultant, a est la norme de la somme des composantes le long de l’axe des x, et b est la norme de la somme des composantes le long de l’axe des y.
  4. Calculez l’angle formé par le vecteur résultant et l’horizontale (ou l’axe des x). Utilisez la formule θ=tan(b/a), où θ est l’angle formé par le vecteur résultant et l’axe des x ou l’horizontale.
  5. Représentez votre vecteur résultant.
    • Par exemple, si votre vecteur représentait des forces, alors notez "Une force de x N à y à l’horizontale/le long de l’axe des x/etc".

Soustraction de vecteurs

  1. Soustrayez en additionnant un nombre négatif. Une autre façon de voir la soustraction de vecteurs est de considérer cette opération comme une addition de nombres « négatifs ».
  2. Trouvez la valeur négative du vecteur. Celle-ci possèdera la même norme que le vecteur initial, mais pointera dans la direction opposée. Vous pouvez le représenter en dessinant le vecteur initial, mais en dessinant la flèche dans l’autre sens, afin que la tête devienne la queue et inversement.
  3. Utilisez une des deux méthodes d’addition expliquées précédemment, en vous servant de la valeur négative du vecteur. Vous pouvez utiliser n’importe laquelle des méthodes expliquées précédemment pour additionner la « valeur négative » du vecteur à soustraire et le vecteur auquel ce vecteur devait être soustrait.

Conseils

  • Ne confondez pas vecteurs et normes.
  • Les vecteurs ayant la même direction peuvent être additionnés ou soustraits en additionnant ou soustrayant leurs normes. Si vous additionnez deux vecteurs de directions opposées, en réalité leurs normes doivent être soustraites , pas additionnées.
  • Vous pouvez trouver la norme d’un vecteur dans trois dimensions en utilisant la formule a=b+c+d , où a est la norme du vecteur, et b, c, et d sont ses composantes dans chaque direction.
  • Les vecteurs représentés sous la forme xi + yj + zk peuvent être additionnés ou soustraits simplement en additionnant ou en soustrayant les coefficients des trois vecteurs unité. La réponse sera aussi sous la forme i, j, k.
  • Les « vecteurs colonnes » peuvent être additionnés ou soustraits en additionnant ou en soustrayant simplement les valeurs dans chaque ligne.
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