Comment résoudre un carré magique

Les carrés magiques sont devenus populaires, avec l'avènement des mathématiques basées sur les jeux tels que Sudoku. Un carré magique est une disposition de nombres dans un carré de telle manière que la somme des nombres dans chaque rangée, colonne et diagonale donne une constante appelée « constante magique ». Cet article vous montrera comment résoudre n'importe quel type de carré magique.

Résoudre un carré magique d'ordre impair

  1. Calculez la constante magique. Vous trouverez cette constante en utilisant une simple formule mathématique où n= le nombre de rangées ou colonnes dans le carré magique. Alors, par exemple, dans un carré magique de 3x3, n = 3. La constante magique est égale à [n*(n2 + 1)] / 2. Donc, dans l'exemple du carré 3x3 :
    • somme = [3*(32 + 1)] / 2
    • somme = [3*(9 + 1)] / 2
    • somme = (3*10) / 2
    • somme = 30 / 2
    • la constante magique pour un carré 3x3 est 30/2 ou 15
    • la somme des nombres dans chaque rangée, colonne et diagonale doit donner cette constante
  2. Placez le nombre 1 dans la case centrale de la rangée supérieure. Il faut toujours commencer de là, si vous avez affaire à un carré magique de côté impair, peu importe la valeur du nombre. Donc si vous avez un carré 3x3, placez le nombre 1 dans la deuxième case. Dans un carré 15x15, placez le nombre 1 dans la huitième case.
  3. Remplissez les autres cases en suivant le modèle « un vers le haut et un vers la droite ». Vous remplirez les cases dans la séquence (1, 2, 3, 4, etc.) en avançant vers le haut sur la rangée et en vous déplaçant d'une colonne vers la droite. Vous remarquerez immédiatement que pour pouvoir placer le nombre 2, vous devez vous déplacer vers le haut sur la rangée, hors du carré magique. Pas de problème - bien qu'il soit possible de travailler en suivant le modèle « un en haut et un à droite », il y a trois exceptions qui forment aussi un modèle avec des règles prévisibles.
    • Si vous vous retrouvez au-dessus de la rangée supérieure du carré magique, restez dans la colonne de cette case, mais placez le nombre dans la rangée inférieure de cette colonne.
    • Si vous vous retrouvez à droite de la colonne de droite du carré magique, restez dans la rangée de cette case, mais placez le nombre dans la colonne extrême gauche de cette rangée.
    • Si vous vous retrouvez dans une case déjà remplie, retournez à la dernière case que vous avez remplie et placez le nombre suivant juste en dessous.

Résoudre un carré magique d'ordre pair

  1. Comprenez ce que c'est qu'un carré magique. Nous tous savons qu'un nombre pair est un nombre divisible par 2, mais en ce qui concerne les carrés magiques, il existe différentes méthodes pour résoudre les carrés d'ordre pair et doublement pair.
    • Le carré magique d'ordre pair comporte un nombre de cases par côté, nombre qui est divisible par 2, mais pas par 4.
    • Le plus petit carré magique d'ordre pair est de 6x6, car il est impossible d'avoir un carré magique de 2x2.
  2. Calculez la constante magique. Utilisez la même méthode comme pour les carrés magiques d'ordre impair : la constante magique est égale à [n*(n2 + 1)] / 2, où n = le nombre de cases par côté. Donc, dans l'exemple d'un carré 6x6 :
    • somme = [6*(62 + 1)] / 2
    • somme = [6*(36 + 1)] / 2
    • somme = (6*37) / 2
    • somme = 222 / 2
    • la constante magique pour un carré 6x6 est 222/2, soit 111
    • la somme des nombres dans chaque rangée, colonne et diagonale doit donner cette constante
  3. Divisez le carré magique en 4 quadrants de même taille. Libellez-les A (quadrant supérieur gauche), C (quadrant supérieur droit), D (quadrant inférieur gauche) et B (quadrant inférieur droit). Pour savoir la taille de chaque carré, divisez simplement le nombre de cases dans chaque rangée ou colonne par 2.
    • Donc, pour un carré 6x6, chaque quadrant aurait 3x3 cases.
  4. Assignez à chaque quadrant un intervalle de nombres. Le quadrant A obtient un quart des nombres, le quadrant B le second quart, le quadrant C le troisième quart et le quadrant D le dernier quart de l'intervalle total de nombres pour le carré magique de 6x6.
    • Dans l'exemple d'un carré 6x6, le quadrant A serait résolu avec les nombres allant de 1 à 9, le quadrant B avec les nombres allant de 10 à 18, le quadrant C avec des nombres allant de 19 à 27 et le quadrant D avec des nombres allant de 28 à 36.
  5. Résolvez chaque quadrant en utilisant la méthode pour les carrés magiques d'ordre impair. Le quadrant A sera simple à remplir puisqu'il commence par le numéro 1, comme les carrés magiques le font usuellement. Les quadrants B-D, cependant, commenceront avec des nombres étranges - 10, 19 et 28 respectivement, dans notre exemple.
    • Considérez le premier nombre de chaque quadrant comme si c'était le numéro 1. Placez-le dans la case centrale de la rangée supérieure de chaque quadrant.
    • Considérez chaque quadrant comme son propre carré magique. Même si une case est disponible dans un quadrant adjacent, ignorez-la et passez à la règle « d'exception » qui correspond à votre situation.
  6. Surbrillance A et D. Si vous essayez de sommer les nombres de chaque rangée, colonne et diagonale, vous verrez que cela n'est pas égal à la constante magique. Vous devez échanger certaines cases entre le quadrant supérieur gauche et le quadrant inférieur gauche pour compléter votre carré magique. Nous appellerons ces cases échangées Surbrillance A et Surbrillance D.
    • À l'aide d'un crayon, marquez tous les carrés de la rangée supérieure jusqu'à ce que vous lisiez la position de la case médiane du quadrant A. Donc, dans un carré 6x6, vous marquerez seulement la première case (qui comporterait le nombre 8), mais dans un carré 10x10, vous marquerez la première et la deuxième case (qui comporteraient respectivement le nombre 17 et 24).
    • Constituez un carré en utilisant les cases que vous venez de marquer comme la rangée supérieure. Si vous avez seulement marqué une seule case, votre carré est seulement d'une case. Nous appellerons cette zone Surbrillance A-1.
    • Donc dans un carré magique 10x10, la zone Surbrillance A-1 comporterait les deux premières cases des deux premières rangées, formant un carré 2x2 dans le quadrant supérieur gauche.
    • Dans la rangée juste en dessous de la zone Surbrillance A-1, sautez le nombre de la première colonne, puis marquez autant de cases que possible comme vous l'avez fait dans Surbrillance A-1. Nous appellerons cette rangée du milieu Surbrillance A-2.
    • Surbrillance A-3 est une case identique à A-1, mais placée dans le coin inférieur gauche du quadrant.
    • Surbrillance A-1, A-2 et A-3 ensemble forment la zone Surbrillance A.
    • Répétez ce processus dans le quadrant D, en créant une zone en surbrillance identique qu'on nommera Surbrillance D.
  7. Échangez les zones A et D. C'est un échange un à un, il suffit de remplacer les cases entre le quadrant A et D sans changer leur ordre. Une fois cela fait, la somme des nombres dans chaque rangée, colonne et diagonale de votre carré magique sera égale à la constante magique que vous avez calculée.

Résoudre un carré magique doublement pair

  1. Comprenez ce que c'est qu'un carré magique doublement pair. Un carré d'ordre pair a un nombre de cases par côté divisible par 2. Un carré doublement pair a un nombre de cases par côté divisible par le double de 2 et donc 4.
    • Le plus petit carré doublement pair possible à créer est le carré 4x4.
  2. Calculez la constante magique. Utilisez la même méthode comme vous le feriez pour les carrés magiques d'ordre pair ou impair : la constante magique est égale à [n*(n2 + 1)] / 2, où n = le nombre de cases par côté. Donc, dans l'exemple d'un carré 4x4 :
    • somme = [4*(42 + 1)] / 2
    • somme = [4*(16 + 1)] / 2
    • somme = (4*17) / 2
    • somme = 68 / 2
    • la constante magique d'un carré 4x4 est 68/2, soit 34
    • la somme des nombres dans chaque rangée, colonne et diagonale doit donner cette valeur
  3. Créez des zones de surbrillance A-D. Dans chaque coin du carré magique, marquez un petit carré avec des côtés d'une longueur de n/4, où n = la longueur d'un côté du carré magique entier. Libellez-les Surbrillance A, B, C et D dans le sens contraire de l'aiguille d'une montre.
    • Dans un carré 4x4, vous marquerez simplement les quatre cases des coins.
    • Dans un carré 8x8, chaque zone de surbrillance sera un carré 2x2 dans les coins.
    • Dans un carré 12x12, chaque zone de surbrillance serait un carré 3x3 dans les coins et ainsi de suite.
  4. Créez la zone de surbrillance centrale. Marquez toutes les cases au centre du carré magique dans une zone carrée de longueur n/2, où n = la longueur d'un côté du carré magique entier. La zone de surbrillance centrale ne doit en aucun cas chevaucher les zones A-D, mais peut toucher chacune d'elles dans les coins.
    • Dans un carré 4x4, la zone de surbrillance centrale serait un carré 2x2 au centre.
    • Dans un carré 8x8, la zone de surbrillance centrale serait un carré 4x4 au centre et ainsi de suite.
  5. Remplissez le carré magique, mais uniquement les zones en surbrillance. Commencez à remplir le carré de la gauche vers la droite, mais écrivez uniquement le nombre si la case se trouve dans une zone en surbrillance. Donc, dans le carré 4x4, vous remplirez les cases de la manière suivante :
    • 1 dans la case supérieure gauche et 4 dans la case supérieure droite,
    • 6 et 7 dans les cases centrales de la deuxième rangée,
    • 10 et 11 dans les cases centrales de la troisième rangée,
    • 13 dans la case inférieure gauche et 16 dans la case supérieure droite.
  6. Remplissez le reste du carré magique en faisant un décompte. C'est l'inverse de l'étape précédente. Commencez de nouveau par la case supérieure gauche, mais cette fois, sautez toutes les cases se trouvant dans la zone en surbrillance et remplissez les cases qui ne sont pas mises en surbrillance, en comptant en arrière. Commencez avec le plus grand nombre dans votre intervalle de nombres. Donc, dans un carré magique 4x4, vous remplirez les cases de la manière suivante :
    • 15 et 14 dans les cases centrales de la première rangée,
    • 12 dans la case extrême gauche et 9 dans la case extrême droite dans la deuxième rangée,
    • 8 dans la case extrême gauche et 5 dans la case extrême droite de la troisième rangée,
    • 3 et 2 dans les cases centrales de la quatrième rangée,
    • à ce niveau, la somme des nombres dans chaque colonne, rangée et diagonale serait égale à la constante que vous avez calculée.

Conseils

  • Essayez d'utiliser les variations de ces étapes pour découvrir vos propres méthodes de résolution.

Éléments nécessaires

  • Un crayon
  • Un papier
  • Une gomme
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