Come Semplificare una Radice Quadrata

Riuscire a calcolare la radice quadrata di un numero che non è un quadrato perfetto non è difficile come può sembrare. Devi scomporre in fattori il radicando e togliere dalla radice ogni fattore che è un quadrato perfetto. Una volta memorizzati i più comuni quadrati perfetti, sarai in grado di semplificare senza difficoltà le radici quadrate.

Semplificare la Radice Quadrata con la Scomposizione in Fattori

  1. Impara la scomposizione in fattori. L'obiettivo, durante il procedimento di semplificazione di una radice, è quello di riscrivere il problema in una forma più facile. La scomposizione suddivide il numero in fattori più piccoli, ad esempio il numero 9 può essere visto come il risultato di 3x3. Una volta che individuati i fattori, puoi riscrivere la radice quadrata in una forma più semplice e a volte trasformarla in un intero. Ad esempio: √9 = √(3x3) = 3. Segui le istruzioni per imparare il procedimento.
  2. Dividi il numero nei fattori primi più piccoli possibili. Se il numero sotto radice è pari, dividilo per 2. Se il numero è dispari, prova a dividerlo per 3. Se non ottieni un numero intero, continua con altri numeri primi finché la divisione non produce un quoziente intero. Devi utilizzare come divisore solo i numeri primi, dato che tutti gli altri sono a loro volta il risultato di moltiplicazione di fattori primi. Ad esempio non devi provare a scomporre un numero per 4, in quanto 4 è divisibile per 2 (che hai già testato).
    • 2
    • 3
    • 5
    • 7
    • 11
    • 13
    • 17
  3. Riscrivi la radice quadrata sotto forma di moltiplicazione. Mantieni tutta la moltiplicazione sotto il segno di radice senza dimenticare nessun fattore. Per esempio, se devi semplificare √98, segui i passaggi sopra descritti e scoprirai che 98 ÷ 2 = 49, quindi 98 = 2 x 49. Riscrivi "98" sotto il segno di radice, ma sotto forma di moltiplicazione: √98 = √(2 x 49).
  4. Ripeti il procedimento con uno dei due numeri. Prima di poter semplificare la radice quadrata, devi continuare la scomposizione finché trovi due fattori identici. Questo concetto è semplice da capire, se pensi cosa significa la radice quadrata: il simbolo √(2 x 2) ti permette di calcolare "il numero che moltiplicato per se stesso dà 2 x 2". Ovviamente, in questo caso è 2! Con questo obiettivo in mente, ripeti i passaggi precedenti con il problema: √(2 x 49):
    • 2 è un numero primo non ulteriormente scomponibile. Ignoralo e occupati di 49.
    • 49 non è divisibile per 2, 3 o 5. Lo puoi verificare con la calcolatrice o una divisione in colonna. Dato che questi fattori non danno un quoziente intero, ignorali e procedi oltre.
    • 49 può essere diviso per 7. 49 ÷ 7 = 7, quindi 49 = 7 x 7.
    • Riscrivi il problema: √(2 x 49) = √(2 x 7 x 7).
  5. Termina la semplificazione "estraendo" un intero. Una volta che hai suddiviso il problema in fattori identici, puoi estrarre dal simbolo di radice un intero lasciando gli altri fattori all'interno. Per esempio: √(2 x 7 x 7) = √(2)√(7 x 7) = √(2) x 7 = 7√(2).
    • Anche se è possibile continuare nella scomposizione, non è necessario farlo quando hai trovato due numeri identici. Ad esempio: √(16) = √(4 x 4) = 4. Se continui con la scomposizione otterrai la stessa soluzione ma con del lavoro in più: √(16) = √(4 x 4) = √(2 x 2 x 2 x 2) = √(2 x 2)√(2 x 2) = 2 x 2 = 4.
  6. Se sono più di uno, moltiplica gli interi fra loro. Quando hai a che fare con radici quadrate grandi, puoi semplificarle in più fattori. Quando questo accade, devi moltiplicare fra loro gli interi che estrai dal segno di radice. Ecco un esempio:
    • √180 = √(2 x 90)
    • √180 = √(2 x 2 x 45)
    • √180 = 2√45, che può essere ulteriormente semplificato.
    • √180 = 2√(3 x 15)
    • √180 = 2√(3 x 3 x 5)
    • √180 = (2)(3√5)
    • √180 = 6√5
  7. Se non trovi fattori identici, termina il problema con la scritta "non è possibile un'ulteriore semplificazione". Alcune radici quadrate sono già in forma minima. Se, dopo avere ridotto il numero in fattori primi, non trovi due numeri uguali, allora non c'è nulla che tu possa fare. La radice che ti è stata assegnata non è semplificabile. Per esempio, prova a semplificare √70:
    • 70 = 35 x 2, quindi √70 = √(35 x 2)
    • 35 = 7 x 5, quindi √(35 x 2) = √(7 x 5 x 2)
    • Tutti e tre i numeri sono primi e non possono essere scomposti. Sono tutti diversi fra loro e non puoi "estrarre" alcun numero intero. √70 non può essere semplificata.

Conoscere i Quadrati Perfetti

  1. Memorizza qualche quadrato perfetto e le sue radici quadrate. Elevare al quadrato un numero (cioè moltiplicarlo per se stesso) origina un quadrato perfetto (per esempio, 25 è un quadrato perfetto perché 5x5, o 5, fa 25). È una buona cosa avere familiarità con almeno i primi 10 quadrati perfetti e con le loro radici quadrate, dato che questo ti permetterà di semplificare le radici quadrate più complicate con meno difficoltà. Ecco i primi 10:
    • 1 = 1
    • 2 = 4
    • 3 = 9
    • 4 = 16
    • 5 = 25
    • 6 = 36
    • 7 = 49
    • 8 = 64
    • 9 = 81
    • 10 = 100
  2. Trova la radice quadrata di un quadrato perfetto. L'unica cosa che devi fare è togliere il segno di radice (√ ) e scrivere il valore corrispondente. Se hai imparato a memoria i primi 10 quadrati perfetti non sarà un problema. Ad esempio, se sotto il segno di radice c'è il numero 25, tu sai che la soluzione è 5 poiché 25 è il suo quadrato perfetto:
    • √1 = 1
    • √4 = 2
    • √9 = 3
    • √16 = 4
    • √25 = 5
    • √36 = 6
    • √49 = 7
    • √64 = 8
    • √81 = 9
    • √100 = 10
  3. Dividi i numeri in fattori che sono a loro volta dei quadrati perfetti. Sfrutta i quadrati perfetti quando usi il metodo della scomposizione in fattori per semplificare le radici. Se noti che uno dei fattori è anche un quadrato perfetto, risparmierai un sacco di tempo e fatica. Ecco qualche utile suggerimento:
    • √50 = √(25 x 2) = 5√2. Se le ultime due cifre di un numero sono 25, 50 o 75 puoi sempre estrarre il fattore 25.
    • √1700 = √(100 x 17) = 10√17. Se le ultime due cifre sono 00, puoi sempre estrarre il fattore 100.
    • √72 = √(9 x 8) = 3√8. Riconoscere i multipli di 9 non è semplice. Ecco un trucco: se la somma di tutte le cifre del numero è uguale a nove, allora 9 è un fattore.
    • √12 = √(4 x 3) = 2√3. Per questo caso non esistono trucchi, ma non è difficile capire se un numero piccolo è divisibile per 4. Ricordalo quando cerchi i fattori.
  4. Suddividi un numero in fattori con più di un quadrato perfetto. Se il numero contiene molti fattori che sono al tempo stesso dei quadrati perfetti, devi estrarli dalla radice. In tal caso devi toglierli dal radicale (√) e moltiplicarli fra loro. Ecco l'esempio di √72:
    • √72 = √(9 x 8)
    • √72 = √(9 x 4 x 2)
    • √72 = √(9) x √(4) x √(2)
    • √72 = 3 x 2 x √2
    • √72 = 6√2

Conoscere la Terminologia

  1. Il radicale (√) è il simbolo della radice quadrata. Per esempio, nel problema √25, "√" è il radicale.
  2. Il radicando è il numero sotto il simbolo di radice. È il valore di cui devi trovare la radice quadrata. Ad esempio in √25, "25" è il radicando.
  3. Il coefficiente è il numero all'esterno del simbolo di radice. Indica il numero di volte per cui la radice deve essere moltiplicata e si trova alla sua sinistra. In 7√2, "7" è il coefficiente.
  4. I fattori sono i numeri che dividono il radicando in valori interi. Per esempio 2 è fattore di 8 perché 8 ÷ 2 = 4, ma 3 non è fattore di 8 perché 8÷3 non dà come quoziente un numero intero. Invece 5 è fattore di 25 perché 5 x 5 = 25.
  5. Comprendi il significato di semplificazione. Si tratta di un'operazione che permette di togliere dal segno di radice ogni fattore del radicando che è un quadrato perfetto, lasciando all'interno tutti i fattori che non lo sono. Se il radicando è un quadrato perfetto, il segno di radice scompare e devi scrivere il valore della radice. Per esempio √98 può essere semplificato in 7√2.

Consigli

  • Un modo per trovare un quadrato perfetto del tuo radicando è controllare la lista dei quadrati perfetti, iniziando da quello minore rispetto al tuo radicando. Per esempio, se cerchi il quadrato perfetto di 27 dovresti iniziare da 25 e poi scendere a 16 e fermarti a 9 , quando trovi quello per cui 27 è divisibile.

Avvertenze

  • Semplificare non è la stessa cosa di dividere. Non dovresti ritrovarti con una virgola decimale in nessuna fase del procedimento!
  • La calcolatrice è utile quando devi lavorare con numeri grandi, tuttavia più ti eserciti con i calcoli a mente e più semplice diverrà il procedimento.
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