Come Dividere i Polinomi

I polinomi possono essere divisi come le costanti numeriche, sia scomponendo che tramite lunga divisione. Il metodo che usi dipende da quanto sono complessi il dividendo e il divisore del polinomio.

Scegliere l’approccio adatto

  1. Osserva la complessità del divisore. Il livello di complessità del divisore (il polinomio per cui stai dividendo) rispetto al dividendo (il polinomio in cui stai dividendo) determina il miglior approccio da utilizzare.
    • Se il divisore è un monomio (polinomio con un solo termine), o una variabile con un coefficiente o una costante (un numero non seguito da una variabile), puoi probabilmente scomporre il dividendo e cancellare uno dei fattori e dividendi risultanti. Vedi la Parte 2 per istruzioni ed esempi.
    • Se il divisore è un binomio (polinomio con 2 termini), potresti riuscire a scomporre il dividendo e cancellare uno dei fattori e divisori risultanti.
    • Se il divisore è un trinomio (polinomio con 3 termini), potresti riuscire a scomporre sia il dividendo che il divisore, cancellare il fattore comune, e poi o scomporre ulteriormente il dividendo o usare la divisione lunga.
    • Se il divisore è un polinomio con più di 3 fattori, dovrai probabilmente usare la divisione lunga. Vedi la Parte 3 per istruzioni ed esempi.
  2. Osserva la complessità del dividendo. Se il divisore polinomiale dell’equazione non ti suggerisce di provare a scomporre il dividendo, osserva il dividendo stesso.
    • Se il dividendo ha 3 o meno di 3 termini, puoi probabilmente scomporlo e cancellare il divisore.
    • Se il dividendo ha più di 3 termini, dovrai probabilmente dividere il divisore per esso usando la divisione lunga.

Scomporre il dividendo

  1. Controlla se tutti i termini del dividendo contengono un fattore in comune coi divisori. Se è questo il caso, puoi scomporre e probabilmente eliminare il divisore.
    • Se stai dividendo per 3 il binomio 3x – 9, puoi scomporre il 3 da entrambi i termini del binomio, rendendolo 3(x – 3). Puoi in seguito cancellare il divisore 3, ottenendo un quoziente di x – 3.
    • Se stai dividendo per 6x il binomio 24x - 18x, puoi scomporre 6x da entrambi i termini del binomio, rendendolo 6x(4x - 3). Puoi quindi cancellare il divisore, lasciando un quoziente di 4x - 3.
  2. Cerca nel dividendo sequenze particolari che indicano la possibilità di scomporlo. Certi polinomi mostrano termini che ti dicono che possono essere scomposti. Se uno di quei fattori corrisponde al divisore, puoi cancellarlo, lasciando il restante fattore come il quoziente. Ecco alcune sequenze da cercare:
    • Differenza di quadrati perfetta. Si tratta del binomio di forma ‘’a x - b’’, in cui i valori di ‘’a ’’ e ‘’b ’’ sono quadrati perfetti. Questo binomio si scompone in due binomi (ax + b)(ax – b), in cui a e b sono le radici quadrate del coefficiente e la costante del precedente binomio.
    • Trinomio quadrato perfetto. Questo trinomio ha la forma ax + 2abx + b . Si scompone in (ax + b)(ax + b), che può anche essere scritto come (ax + b). Se il segno davanti al secondo termine è un meno, le scomposizioni binomiali saranno espresse così: (ax – b)(ax – b).
    • Somma o differenza di cubi. Questo binomio ha la forma ax + b o ax - b, in cui i valori di ‘’a ’’ e ‘’b ’’ sono cubi perfetti. Questo binomio si scompone in un binomio e un trinomio. Una somma di cubi si scompone in (ax + b)(ax - abx + b). Una differenza di cubi si scompone in (ax - b)(ax + abx + b).
  3. Usa tentativi ed errori per scomporre il dividendo. Se non vedi una sequenza speciale nel dividendo che ti suggerisca come scomporlo, puoi provare diverse combinazioni possibili per la scomposizione. Puoi farlo guardando prima alla costante e trovando varie scomposizioni per essa, poi al coefficiente del termine centrale.
    • Per esempio, se il dividendo fosse x - 3x – 10, guarderesti i fattori di 10 e useresti il 3 per aiutarti a determinare quale coppia di fattori è corretta.
    • Il numero 10 può essere scomposto in fattori di 1 e 10 o 2 e 5. Poiché il segno davanti è 10 è negativo, uno dei fattori binomiali dovrà avere un numero negativo davanti alla propria costante.
    • Il numero 3 è la differenza tra 2 e 5, perciò queste devono essere le costanti dei binomi scomposti. Poiché il segno davanti al 3 è negativo, il binomio col 5 dev’essere quello negativo. Le scomposizioni binomiali saranno quindi (x – 5)(x + 2). Se il divisore è una di queste due scomposizioni, quella può essere eliminata, e l’altra è il quoziente.

Usare la divisione polinomiale lunga

  1. Prepara la divisione. Scrivi la divisione polinomiale lunga nello stesso modo in cui divideresti dei numeri. Il dividendo va sotto la linea di divisione lunga, mentre il divisore va sulla sinistra.
    • Se stai dividendo x + 11 x + 10 per x +1, x + 11 x + 10 va sotto la linea, mentre x + 1 va sulla sinistra.
  2. Dividi il primo termine del divisore nel primo termine del dividendo. Il risultato di questa divisione va in cima alla linea di divisione.
    • Per il nostro esempio, dividendo x, il primo termine del dividendo, per x, il primo termine del divisore produce x. Scriverai una x in cima alla linea di divisione, sopra x.
  3. Moltiplica la x nella posizione del quoziente per il divisore. Scrivi il risultato della moltiplicazione sotto i termini più a sinistra del dividendo.
    • Proseguendo col nostro esempio, moltiplicando x + 1 per x si ottiene x + x. Scriverai questo sotto i primi due termini del dividendo.
  4. Sottrai dal dividendo. Per farlo, prima inverti i segni del prodotto della moltiplicazione. Dopo aver sottratto, porta sotto i termini rimanenti del dividendo.
    • L’inversione dei segni di x + x crea - x - x. Sottraendo questo dai primi due termini del dividendo otteniamo 10x. Dopo aver portato giù i termini rimanenti del dividendo, abbiamo 10x + 10 come quoziente provvisorio su cui continuare il processo di divisione.
  5. Ripeti i tre passaggi precedenti sul quoziente provvisorio. Dividi nuovamente il primo termine del divisore nel quoziente provvisorio, scrivi il risultato in cima alla linea di divisione dopo il primo termine del quoziente, moltiplica il risultato per il divisore, e poi calcola cosa sottrarre dal quoziente provvisorio.
    • Poiché x sta 10 volte in 10x, scriverai “+ 10” dopo la x nella posizione del quoziente sulla barra di divisione.
    • Moltiplicando x +1 per 10 si ottiene 10x + 10. Scrivi questo sotto il quoziente provvisorio e inverti i segni per la sottrazione, rendendolo -10x – 10.
    • Quando fai la sottrazione, hai un resto di 0. Ora, dividendo x + 11 x + 10 per x +1 ottieni un quoziente di x + 10. (Avresti potuto ottenere lo stesso risultato scomponendo, ma questo esempio è stato scelto per mantenere la divisione relativamente semplice).

Consigli

  • Se, durante una lunga divisione su un polinomio, hai un resto non uguale a 0, puoi rendere quel resto parte del quoziente scrivendolo come frazione che ha il resto come numeratore e il divisore come denominatore. Se, nel nostro esempio, il dividendo fosse stato x + 11 x + 12 invece chex + 11 x + 10, la divisione per x +1 avrebbe lasciato un resto di 2. Il quoziente completo sarebbe quindi stato scritto come: x+10+2x+1{\displaystyle x+10+{\frac {2}{x+1}}}
  • Se il dividendo ha un vuoto nei gradi dei propri termini, tipo 3x+9x+18, puoi inserire il termine mancante con un coefficiente di 0, in questo caso 0x, per rendere più facile il posizionamento degli altri termini nella divisione. Fare questo non cambia il valore del dividendo.
  • Sii consapevole che alcuni libri di algebra tendono a giustificare l’impaginazione di quoziente e dividendo nelle divisioni polinomiali, o a presentare i termini in modo che elementi con lo stesso grado in entrambi i polinomi risultino allineati l’un l’altro. Potresti trovare più semplice, tuttavia, quando fai le divisioni a mano, giustificare sulla sinistra quoziente e dividendo come descritto nei passaggi precedenti.

Avvertenze

  • Mantieni le colonne allineate mentre dividi polinomi lunghi per evitare di sottrarre i termini sbagliati.
  • Quando scrivi il quoziente di una divisione polinomiale che include un elemento frazionale, usa sempre un segno più tra l’intero numero (o l’intera variabile) e l’elemento frazionale.
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