Come Trovare l'Inversa di una Funzione Quadratica

Calcolare l'inversa di una funzione quadratica è semplice: è sufficiente esplicitare l'equazione rispetto alla x e rimpiazzare y con x nell'espressione risultante. Trovare l'inversa di una funzione quadratica è decisamente ingannevole, soprattutto perché le funzioni Quadratiche non sono funzioni biunivoche, eccetto che per un dominio limitato appropriato.

Passaggi

  1. Esplicita rispetto y o f(x) se non è già così. Durante le tue manipolazioni algebriche non modificare la funzione in nessun modo ed effettua le stesse operazioni ad entrambi i membri dell'equazione.
  2. Sistema la funzione in modo che sia nella forma y=a(x-h)+k. Questo non è solo fondamentale per trovare l'inversa della funzione, ma anche per determinare se la funzione possiede effettivamente un'inversa. Puoi farlo usando due metodi:
    • Completando il quadrato
      1. "Raccogli il fattore comune a" da tutti i termini dell'equazione (il coefficiente di x). Fallo scrivendo il valore di a, aprendo una parentesi, e scrivendo l'intera equazione, poi dividendo ciascun termine per il valore di a, come mostrato nello schema sulla destra. Lascia invariato il membro sinistro dell'equazione, dato che non abbiamo effettuato nessuna effettiva modifica al valore del membro destro.
      2. Completa il quadrato. Il coefficiente di x è (b/a). Dividilo a metà ottenendo (b/2a), ed elevalo al quadrato, per avere (b/2a). Aggiungilo e sottrailo dall'equazione. Questo non avrà alcun effetto di modifica sull'equazione. Se osservi con attenzione, vedrai che i primi tre termini all'interno della parentesi sono nella forma a+2ab+b, dove a è x, e b è (b/2a). Ovviamente questi termini saranno numerici e non algebrici per un'equazione reale. Questo è un quadrato completato.
      3. Dato che i primi tre termini ora costituiscono un quadrato perfetto, puoi scriverli nella forma (a-b) o (a+b). Il segno fra i due termini sarà lo stesso segno del coefficiente di x nell'equazione.
      4. Prendi il termine che è al di fuori del quadrato perfetto, dalle parentesi quadrate. Questo porta l'equazione ad avere la forma y=a(x-h)+k, come desiderato.
    • Confrontando i coefficienti
      1. Crea un’identità in x. Sulla sinistra, inserisci la funzione come è espressa in forma della x, e sulla destra inserisci la funzione nella forma voluta, in questo caso a(x-h)+k. Questo ti permetterà di trovare i valori di a, h e k che vanno bene per tutti i valori di x.
      2. Apri e sviluppa la parentesi del membro destro dell’identità. Non dovremmo toccare il lato sinistro dell’equazione, e potremmo ometterlo dal nostro lavoro. Nota che tutto il lavoro che viene fatto sul lato destro è algebrico come mostrato e non numerico.
      3. Identifica i coefficienti di ogni potenza di x. Poi raggruppali e posizionali nelle parentesi, come mostrato sulla destra.
      4. Confronta i coefficienti per ogni potenza di x. Il coefficiente di x del membro destro deve essere uguale a quello sul lato sinistro. Questo ci fornisce il valore di a. Il coefficiente di x del membro destro dovrà essere uguale a quello del membro sinistro. Questo porta alla formazione di un’equazione in a e in h, che può essere risolta sostituendo il valore di a, che è già stato trovato. Il coefficiente di x, o 1, del membro sinistro deve essere uguale a quello del membro destro. Confrontandoli si ottiene un’equazione che ci aiuterà a trovare il valore di k.
      5. Usando i valori di a,h, e k trovati sopra, possiamo scrivere l’equazione nella forma desiderata.
  3. Assicurati che il valore di h stia o all’interno dei limiti del dominio, o al di fuori. Il valore di h ci fornisce la coordinata x del punto stazionario della funzione. Un punto stazionario all’interno del dominio significherebbe che la funzione non è biiettiva, quindi non possiede un’inversa. Nota che l’equazione è a(x-h)+k. Quindi se ci fosse (x+3) all’interno della parentesi, il valore di h sarebbe -3.
  4. Esplicita la formula rispetto (x-h). Fallo sottraendo il valore di k da entrambi i membri dell’equazione, e poi dividendo entrambi i membri per a. A questo punto avrei i valori numerici di a, h e k, quindi usa quelli e non i simboli.
  5. Estrai la radice quadrata di entrambi i membri dell’equazione. Questo eliminerà la potenza quadratica da (x - h). Non dimenticarti di inserire il segno "+/-" sull’altro lato dell’equazione.
  6. Decidi fra il segno + e il segno -, dato che non li puoi tenere entrambi (tenendoli entrambi avresti una "funzione" uno a molti, che la renderebbe non valida). Per fare questo osserva il dominio. Se il dominio sta a sinistra del punto stazionario es. x < un certo valore, usa il segno -. Se il dominio sta a destra del punto stazionario es. x > un certo valore, usa il segno +. Poi, esplicita la formula rispetto alla x.
  7. Rimpiazza la y con la x, e la x con f(x), e congratulati con te stesso per avere trovato con successo l’inversa di una funzione quadratica.

Consigli

  • Controlla la tua inversa calcolando il valore di f(x) per un certo valore di x, e poi sostituisci quel valore di f(x) nell’inversa per vedere se ritorna il valore originario della x. Ad esempio, se la funzione di 3 [f(3)] è 4, allora sostituendo 4 nell’inversa dovresti ottenere 3.
  • Se non è troppo problematico puoi anche controllare l’inversa analizzando il suo grafico. Dovrebbe avere lo stesso aspetto della funzione originaria riflessa rispetto l’asse y = x.
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