Come Sommare e Sottrarre dei Vettori

I vettori sono quantità fisiche composte da un modulo, un verso e una direzione (come la velocità, l’accelerazione e lo spostamento) e si contrappongono alle grandezze scalari che posseggono solo la magnitudine (come la rapidità, la distanza o l’energia). Le grandezze scalari possono essere sommate addizionando le loro magnitudini (ad esempio 5 kJ di lavoro più 6 kJ di lavoro sono pari a 11 kJ di lavoro); mentre quelle vettoriali sono soggette a dei calcoli leggermente più complessi. Continua a leggere per imparare i diversi metodi per affrontare le somme e le sottrazioni fra vettori.

Sommare e Sottrarre i Vettori con Componenti Note

  1. Esprimi le componenti dimensionali del vettore con la notazione vettoriale. Dato che i vettori hanno direzione, verso e modulo, puoi suddividerli in elementi grazie alle coordinate cartesiane tridimensionali (x, y e z). Queste dimensioni si esprimono con una notazione simile a quella che si utilizza per definire dei punti in un sistema di coordinate (cioè <x,y,z>). Se tutti questi elementi sono noti, sommare o sottrarre i vettori è semplice tanto quanto sommare o sottrarre fra loro le coordinate x, y e z.
    • Ricorda che i vettori possono essere monodimensionali, bidimensionali o tridimensionali. Pertanto, possono avere una componente x, una x e y oppure una x, y e z. Gli esempi che seguiranno prendono in considerazione vettori tridimensionali, ma per quelli bidimensionali e monodimensionali il processo è analogo.
    • Supponiamo di avere due vettori tridimensionali chiamati A e B. Possiamo esprimerli con una notazione vettoriale come A = <a1; b1; c1> e B = <a2; b2; c2>, dove a1 e a2 sono le componenti x; b1 e b2 sono le componenti y e c1 e c2 sono le componenti z.
  2. Per sommare i due vettori, somma fra loro le componenti. Se queste sono note, è possibile sommare i vettori sommando fra loro le componenti dimensionali corrispondenti. In altre parole, somma la componente x del primo vettore a quella x del secondo e fai lo stesso per le componenti y e z. I risultati che ottieni per ogni componente direzionale saranno i valori delle componenti del vettore finale.
    • In termini generali; A+B = <a1+a2;b1+b2;c1+c2>.
    • Sommiamo i vettori A e B. A = <5; 9; -10> e B = <17; -3; -2>. A + B = <5+17; 9+-3; -10+-2> cioè <22; 6; -12>.
  3. Per sottrarre i due vettori, procedi sottraendo fra loro le corrispettive componenti direzionali. Come abbiamo già visto in precedenza, la sottrazione di due vettori è assimilabile al processo "opposto" della somma. Se le varie componenti sono note, puoi sottrarre i due vettori semplicemente sottraendo le componenti del primo da quelle del secondo (oppure sommandole se sono numeri negativi).
    • In generale: A-B = <a1-a2;b1-b2;c1-c2>.
    • Sottraiamo i due vettori A e B. A = <18; 5; 3> e B = <-10; 9; -10>. A - B = <18- -10; 5-9; 3--10> cioè <28; -4; 13>.

Sommare e Sottrarre i Vettori Graficamente con il Metodo Punta-Coda

  1. Rappresenta i vettori graficamente disegnandoli come un segmento orientato con una “punta” e una “coda”. Dato che i vettori hanno una direzione, un verso e una magnitudine, si può dire che hanno un punta e una coda. In altre parole, i vettori hanno, lungo la direzione in cui la grandezza vettoriale si esprime, un "punto di origine" e un "punto di fine"; quest’ultimo è rivolto nel verso in cui è orientato il vettore stesso. La distanza fra il punto di origine e quello finale rappresenta il modulo (o magnitudine) del vettore. Quando viene rappresentato graficamente, il vettore assomiglia a una freccia. La punta della freccia è la "punta" del vettore, l’estremità dell’asta della freccia è la "coda" del vettore.
    • Se stai disegnando delle grandezze vettoriali in scala, devi prestare molta attenzione alle misure e tracciare ogni angolo con precisione. Con questo metodo di somma e sottrazione, gli errori nella rappresentazione degli angoli possono ripercuotersi nel calcolo e condurti a risultati sbagliati.
  2. Per calcolare una somma, disegna o sposta il secondo vettore in modo che la sua coda si unisca alla punta del primo. Questa si definisce come congiunzione "punta-coda". Se stai solo sommando due vettori, questo è tutto ciò che devi fare per trovare il vettore risultante.
    • Assumendo che abbiamo lo stesso punto di origine, l’ordine con cui si uniscono i due vettori non è determinante. Vettore A + Vettore B = Vettore B + Vettore A.
  3. Per procedere alla sottrazione, aggiungi il "negativo" del vettore. Procedere alla sottrazione grafica è piuttosto facile. Semplicemente cambia il verso della “freccia” e mantieni inalterato il modulo, dopodiché unisci la punta alla coda come faresti di solito. In altre parole, per sottrarre una grandezza vettoriale, capovolgila di 180° e sommala al primo vettore.
  4. Se devi sottrarre o sommare più di due vettori, uniscili tutti in una sequenza “punta-coda”. L’ordine che segui non è importante; questo metodo può essere utilizzato per qualunque numero di vettori.
  5. Disegna un nuovo vettore che abbia origine dalla coda del primo addendo alla punta dell’ultimo. Che tu stia considerando due o cento vettori, il segmento orientato risultante nasce dalla coda del primo e si “allunga” fino alla punta dell’ultimo. Nota che questo vettore è del tutto identico a quello che otterresti sommando le componenti x, y e z di tutti i vettori.
    • Se hai disegnato i vettori in scala, traccia tutti gli angoli con grande precisione e troverai il modulo del vettore risultante misurando la sua lunghezza. Puoi anche misurare l’ampiezza dell’angolo delimitato dal vettore risultante sia con uno specifico vettore addendo sia con la linea verticale o orizzontale per trovare la sua direzione.
    • Se non hai disegnato tutti i vettori in scala, probabilmente dovrai calcolare il modulo risultante con la trigonometria. In tal caso la regola del seno e del coseno potrebbero esserti utili. Se stai sommando più di due vettori, vale la pena sommare prima due grandezze e poi sommare il risultato alla terza e così via. Leggi la prossima sezione per altre informazioni in merito.
  6. Rappresenta il vettore risultante considerando la direzione, il verso e il modulo. I vettori sono definiti con queste tre caratteristiche. Come già asserito in precedenza, dando per scontato che hai disegnato i segmenti orientati in maniera precisa, il modulo del vettore risultante è la lunghezza del segmento, la direzione è la sua inclinazione rispetto alla verticale o all’orizzontale e il verso è determinato da quello del vettore addendo con modulo maggiore. Usa l’unità di misura con cui sono espressi i vettori addendi per determinare l’unità di misura della magnitudine del vettore risultante.
    • Ad esempio, se i vettori che consideriamo rappresentano delle velocità in ms, possiamo definire il vettore risultante come "una velocità di x ms a y rispetto all’orizzontale".

Sommare e Sottrarre i Vettori Trovando le Loro Componenti Dimensionali

  1. Sfrutta la trigonometria per trovare le componenti del vettore. Solitamente è necessario conoscere la magnitudine e la direzione relativa all’orizzontale o alla verticale e avere una solida conoscenza della trigonometria. Considerando un vettore bidimensionale, per prima cosa, pensiamolo come l’ipotenusa di un triangolo rettangolo con i cateti paralleli all’asse delle ascisse e delle ordinate. I cateti possono essere immaginati come i vettori componenti, uniti secondo il metodo “punta-coda”, che generano il vettore che stai studiando.
    • La lunghezza di ciascun cateto è, rispettivamente, pari al modulo della componente x e y e può essere calcolata con la trigonometria. Se x è la magnitudine di un vettore, il lato adiacente all’angolo di tale vettore (relativo all’orizzontale, verticale e via discorrendo) è pari a xcos(θ), mentre il lato opposto è xsin(θ).
    • Inoltre è importante considerare il verso delle componenti. Se queste puntano in un verso negativo di uno dei due assi, allora deve essere considerato con magnitudine negativa. Ad esempio, in un piano cartesiano bidimensionale, se una delle componenti punta verso sinistra o verso il basso, allora deve essere considerata negativa.
    • Consideriamo un vettore con modulo 3 e direzione 135° rispetto all’orizzontale. Con queste informazioni, possiamo determinare che la sua componente x è cos(135) = -2,12 e la sua componente y = 3sin(135) = 2,12
  2. Somma o sottrai due o più componenti corrispondenti dei vettori. Quando hai trovato le componenti di tutti i vettori che prendono parte al problema, somma semplicemente i moduli per trovare le componenti del vettore risultante. Per prima cosa somma tutte le magnitudini delle componenti orizzontali (quelle parallele all’asse x). Separatamente, somma fra loro le magnitudini delle componenti verticali (quelle parallele all’asse y). Se ci sono valori negativi (-), vanno sottratti invece che sommati. I risultati che ottieni sono le componenti x e y del tuo vettore finale.
    • Per esempio, consideriamo il vettore del passaggio precedente con componenti <-2,12; 2,12> a cui si deve sommare il vettore <5,78; -9>. In tal caso otterremmo: <-2,12+5,78; 2,12-9> cioè <3,66; -6,88>.
  3. Calcola il modulo del vettore risultante grazie al Teorema di Pitagora. Questo afferma che in ogni triangolo rettangolo: c=a+b. Dato che il triangolo è formato dal vettore risultante e dalle sue componenti cartesiane, possiamo usare questo teorema per trovare la lunghezza dell’ipotenusa e quindi la magnitudine del vettore risultante. Poniamo c come modulo del vettore risultante (l’incognita che dobbiamo trovare), poniamo a come il modulo della componente x e b come modulo della componente y. Risolvi la semplice equazione con l’algebra.
    • Per trovare il modulo del vettore le cui componenti sono state calcolate nel passaggio precedente, <3,66; -6,88>, usiamo il Teorema di Pitagora come segue:
      • c=(3,66)+(-6,88).
      • c=13,40+47,33.
      • c=√60,73 = 7,79.
  4. Calcola la direzione del vettore risultante grazie alla funzione tangente. Alla fine trova la direzione del vettore. Usa la formula θ=tan(b/a), dove θ è l’angolo che il vettore risultante forma con l’asse x, b è il modulo della componente lungo l’asse y e a è il modulo della componente lungo l’asse x.
    • Per trovare la direzione nel nostro esempio, usiamo θ=tan(b/a).
      • θ=tan(-6,88/3,66).
      • θ=tan(-1,88).
      • θ=-61,99.
  5. Rappresenta il vettore risultante con la sua direzione, magnitudine e verso. Come detto in precedenza, i vettori sono definiti con queste tre caratteristiche. Ricorda di usare le corrette unità di misura.
    • Se nel nostro esempio il vettore rappresentasse una forza (in Newton) allora potremmo definirlo come "una forza di 7,79 N a -61,99 rispetto all’orizzontale".

Consigli

  • I vettori non devono essere confusi con i moduli.
  • I vettori che hanno la medesima direzione possono essere sommati o sottratti semplicemente sottraendo o sommando i loro moduli. Quando sommi due vettori con verso opposto, le loro magnitudini si sottraggono e non si sommano.
  • I vettori che vengono rappresentati come xi + yj + zk possono essere aggiunti o sottratti semplicemente sommando o sottraendo i tre vettori unità. La risposta può anche essere espressa come i,j,k.
  • I vettori colonna si sommano o si sottraggono semplicemente sommando o sottraendo i valori in ogni riga.
  • Puoi trovare il modulo di un vettore in tre dimensioni usando la formula: a=b+c+d , dove a è il modulo del vettore, mentre b, c e d sono le componenti in ogni direzione.
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