Come Risolvere un Quadrato Magico

I quadrati magici sono diventati molto popolari con l'avvento dei giochi matematici come il Sudoku. Un quadrato magico consiste in una disposizione di numeri interi all'interno di una griglia quadrata in cui la somma di ogni riga orizzontale, verticale e diagonale è un numero costante, detto costante magica. Questo articolo ti dirà come risolvere qualsiasi tipo di quadrato magico, sia esso dispari, singolarmente pari o doppiamente pari.

Quadrato Magico con Numero di Caselle Dispari

  1. Calcola la costante magica. Puoi trovare questo numero utilizzando una formula matematica semplice, dove n = numero di righe o colonne del tuo quadrato magico. Essendo un quadrato, il numero di colonne è sempre uguale al numero delle righe. Così, ad esempio, in un quadrato magico 3 x 3, n = 3. La costante magica è [n * (n + 1)] / 2. Così, nei quadrati 3 x 3:
    • somma = [3 * (3 + 1)] / 2
    • somma = [3 * (9 + 1)] / 2
    • somma = (3 * 10) / 2
    • somma = 30 / 2
    • La costante magica per un quadrato 3 x 3 è 30/2 o 15.
    • Tutti i numeri sommati per righe, colonne e diagonali devono dare questo stesso valore.
  2. Inserisci il numero 1 nella casella di centro sulla riga in alto. Si inizia sempre da qui quando il quadrato magico è dispari, indipendentemente da quanto grande o piccolo è il numero. Così, se hai un quadrato 3 x 3, dovrai inserire il numero 1 nella casella 2; in uno 15 x 15, dovrai mettere l'1 nella casella 8.
  3. Inserisci i numeri rimanenti utilizzando un modello «sali di una casella a destra». Riempirai sempre i numeri in sequenza (1, 2, 3, 4, ecc.) alzandoti di una riga e spostandoti di una colonna a destra. Noterai immediatamente che, per inserire il numero 2, dovrai andare oltre la riga superiore, al di fuori del quadrato magico. Va bene — anche se ti muoverai sempre in alto e a destra, ci sono tre prevedibili eccezioni da considerare:
    • Se il movimento ti porta in una casella oltre la prima riga del quadrato magico, rimani nella stessa colonna di quella casella, ma inserisci il numero nella riga inferiore.
    • Se il movimento ti porta alla destra del quadrato magico, rimani nella riga di quella casella, ma inserisci il numero nell'estrema colonna di sinistra.
    • Se il movimento si porta a una casella già occupata, torna all'ultima cella che hai completato e posiziona il numero successivo direttamente al di sotto di essa.

Quadrato Magico Singolarmente Pari

  1. Cerca di capire com'è un quadrato singolarmente pari. Tutti sanno che un numero pari è divisibile per 2, ma, nei quadrati magici, bisogna distinguere tra singolarmente e doppiamente pari.
    • In un quadrato singolarmente pari il numero di caselle presenti per lato è divisibile per 2, ma non per 4.
    • Il più piccolo quadrato magico singolarmente pari possibile è 6 x 6, poiché non può essere scomposto in quadrati magici 2 x 2.
  2. Calcola la costante magica. Utilizza lo stesso metodo visto per i quadrati magici dispari: la costante magica è uguale a [n * (n + 1)] / 2, dove n = numero di caselle per lato. Così, nell'esempio di un quadrato 6 x 6:
    • somma = [6 * (6 + 1)] / 2
    • somma = [6 * (36 + 1)] / 2
    • somma = (6 * 37) / 2
    • somma = 222 / 2
    • La costante magica per un quadrato 6 x 6 è 222/2 o 111.
    • Tutti i numeri sommati per righe, colonne e diagonali devono dare questo stesso valore.
  3. Dividi il quadrato magico in quattro quadranti di pari dimensioni. Supponiamo di chiamare A quello in alto a sinistra, C quello in alto a destra, D quello in basso a sinistra e B l'ultimo in basso a destra. Per capire quanto grande dovrebbe essere ogni quadrato, devi semplicemente dividere a metà il numero di caselle presenti in ogni riga o colonna.
    • Così, per un quadrato 6 x 6, ogni quadrante sarebbe di 3 x 3 caselle.
  4. Assegna a ogni quadrante un intervallo di numeri pari a un quarto della quantità totale di caselle del quadrato magico assegnato.
    • Ad esempio, con un quadrato 6 x 6, ad A dovrebbero essere assegnati i numeri da 1 a 9, a B quelli dell'intervallo 10 - 18, a C quelli dal 19 al 27 e al quadrante D i numeri dal 28 al 36.
  5. Risolvi ogni quadrante utilizzando la metodologia usata per i quadrati magici dispari. Dovrai iniziare dal quadrante A con il numero 1, proprio come spiegato prima. Per gli altri, invece, proseguendo con il nostro esempio, dovrai iniziare dal 10, dal 19 e dal 23.
    • Considera il primo numero di ogni quadrante come se fosse il numero uno. Inseriscilo nella casella centrale della riga in alto.
    • Tratta ogni quadrante come se fosse un quadrato magico a sé stante. Anche se è disponibile una casella vuota in un quadrante adiacente, ignorala e usa la regola riferita all'eccezione che si adatta alla tua situazione.
  6. Crea le Selezioni A e D. Se provassi a sommare adesso le colonne, le righe e le diagonali, noteresti che il risultato non è ancora la tua costante magica. Per completare il quadrato magico devi scambiare alcune caselle tra i quadranti di sinistra, quello superiore e quello inferiore. Chiameremo quelle zone Selezione A e Selezione D.
    • Con una matita, contrassegna tutte le caselle nella riga superiore fino ad arrivare alla posizione della casella mediana del quadrante A. Così, in un quadrato di 6 x 6, dovresti segnare solo la prima casella (che conterrebbe l'8), ma, in un quadrato 10 x 10, dovresti evidenziare la prima e la seconda casella (rispettivamente con i numeri 17 e 24).
    • Ricalca i bordi di un quadrato utilizzando le caselle appena contrassegnate come riga superiore. Se hai segnato solo una casella, il quadrato conterrà esclusivamente quella. Chiameremo questa zona Selezione A -1.
    • Così, in un quadrato magico 10 x 10, la Selezione A -1 consisterebbe nella prima e seconda casella della prima e seconda riga, che creerebbero un quadrato 2 x 2 all'interno del quadrante in alto a sinistra.
    • Nella riga direttamente sotto la Selezione A -1, ignora il numero nella prima colonna, poi contrassegna tante caselle quante ne hai segnate nella Selezione A - 1. Chiameremo questa fila centrale Selezione A - 2
    • La Selezione A-3 è un quadrato identico ad A -1, ma è collocato in basso a sinistra.
    • Insieme, le zone A - 1, A - 2 e A - 3 formano la Selezione A.
    • Ripeti questo stesso processo nel quadrante D, creando un'area evidenziata identica chiamata Selezione D.
  7. Scambia tra di loro la Selezione A e quella D. È uno scambio uno a uno; semplicemente sostituisci le caselle tra le due zone evidenziate senza modificarne l'ordine. Una volta fatto questo, tutte le righe, le colonne e le diagonali del tuo quadrato magico, sommate, dovrebbero dare la costante magica calcolata.

Quadrato Magico Doppiamente Pari

  1. Cerca di capire che cosa si intende per quadrato doppiamente pari. Un quadrato singolarmente pari ha un numero di caselle per lato che è divisibile per 2. Se, invece, è doppiamente pari, allora è divisibile per 4.
    • Il quadrato doppiamente pari più piccolo è quello 4 x 4.
  2. Calcola la costante magica. Utilizza lo stesso metodo visto per il quadrato magico dispari o singolarmente pari: la costante magica è [n * (n + 1)] / 2, dove n = numero di caselle per lato. Così, nell'esempio del quadrato 4 x 4:
    • somma = [4 * (4 + 1)] / 2
    • somma = [4 * (16 + 1)] / 2
    • somma = (4 * 17) / 2
    • somma = 68 / 2
    • La costante magica per un quadrato 4 x 4 è 68/2 = 34.
    • Tutti i numeri sommati per righe, colonne e diagonali devono dare questo stesso valore.
  3. Crea le Selezioni A-D. In ogni angolo del quadrato magico, evidenzia un quadratino con i lati di lunghezza n/4, dove n = la lunghezza del lato del quadrato magico iniziale. Chiama questi quadratini Selezione A, B, C e D in senso antiorario.
    • In un quadrato 4 x 4, dovresti semplicemente contrassegnare le caselle ai quattro angoli.
    • In un quadrato 8 x 8 , ogni Selezione sarebbe un'area 2 x 2 posta in ognuno dei quattro angoli.
    • In un quadrato 12 x 12, ogni Selezione sarebbe costituita da un'area 3 x 3 agli angoli e così via.
  4. Crea la Selezione Centrale. Contrassegna tutte le caselle al centro del quadrato magico in un'area quadrata di lunghezza n/2, dove n = la lunghezza di un lato del quadrato magico intero. La Selezione Centrale non dovrebbe sovrapporsi alle Selezioni A-D, ma toccarle agli angoli.
    • In un quadrato 4 x 4, la Selezione Centrale sarebbe un'area di 2 x 2 caselle al centro.
    • In un quadrato 8 x 8, la Selezione Centrale sarebbe un'area 4 x 4 posta nel centro e così via.
  5. Riempi il quadrato magico, ma solo nelle aree evidenziate. Inizia a compilare i numeri del tuo quadrato magico da sinistra a destra, ma scrivi il numero solo se la casella cade in una Selezione. Così, prendendo ad esempio un quadrato 4 x 4, dovresti riempire le caselle seguenti:
    • 1 nella casella superiore sinistra e 4 nella casella in alto a destra
    • 6 e 7 nelle caselle centrali della riga 2
    • 10 e 11 nelle caselle centrali della riga 3
    • 13 nella casella inferiore sinistra e 16 nella casella in basso a destra.
  6. Riempi il resto del quadrato magico contando all'indietro. Essenzialmente si tratta dell'inverso del passaggio precedente. Inizia ancora con la casella in alto a sinistra, ma, questa volta, salta tutte le caselle che cadono nella zona occupata da una Selezione e riempi le caselle non evidenziate contando all'indietro. Inizia con il numero più alto disponibile. Ad esempio, in un quadrato magico 4 x 4, dovresti procedere nel modo seguente:
    • 15 e 14 nelle caselle centrali della riga 1
    • 12 nella casella più a sinistra e 9 in quella più a destra della riga 2
    • 8 nella casella più a sinistra e 5 nella casella più a destra della riga 3
    • 3 e 2 nelle caselle centrali della riga 4
    • A questo punto, tutte le colonne, le righe e le diagonali, sommando i numeri contenuti in ciascuna di esse, dovrebbero dare la tua costante magica.

Consigli

  • Prova a utilizzare delle variazioni di questi passaggi per scoprire i tuoi personali metodi di soluzione.

Cose che ti Serviranno

  • Matita
  • Oggetto su cui scrivere
  • Gomma
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