Come Calcolare uno Z Score

Uno Z score ti permette di prendere un campione di dati all’interno di un insieme più ampio e di determinare di quante deviazioni standard si trova sopra o sotto la media. Per trovare lo Z score, devi prima calcolare la media, la varianza e la deviazione standard. Successivamente, dovrai trovare la differenza fra il dato del campione e la media e dividere il risultato per la deviazione standard. Sebbene, dall’inizio alla fine, ci siano molti passaggi da seguire per trovare il valore dello Z score con questo metodo, sappi comunque che si tratta di un calcolo semplice.

Calcolare la Media

  1. Osserva il tuo insieme di dati. Avrai bisogno di alcune informazioni chiave per trovare la media aritmetica del campione.
    • Trova quanti dati compongono il campione. Considera un gruppo composto da 5 palme.
    • Ora dai un significato ai numeri. Nel nostro esempio, ciascun valore corrisponde all’altezza di una palma.
    • Prendi nota di quanto variano i numeri. I dati sono compresi in un intervallo piccolo o ampio?
  2. Annota tutti i valori. Hai bisogno di tutti i numeri che compongono il campione di dati per iniziare i calcoli.
    • La media aritmetica ti dice attorno a quale valore medio si distribuiscono i dati che compongono il campione.
    • Per calcolarla, somma fra loro tutti i valori dell’insieme e dividili per il numero dei dati che compongono l’insieme.
    • Nella notazione matematica, la lettera “n” rappresenta la dimensione del campione. Nell’esempio delle altezze delle palme, n=5, dato che abbiamo 5 alberi.
  3. Somma fra loro tutti i valori. Questa è la prima parte del calcolo per trovare la media aritmetica.
    • Considera il campione di palme le cui altezze sono 7, 8, 8, 7,5 e 9 metri.
    • 7 + 8 + 8 + 7,5 + 9 = 39,5. Questa è la somma di tutti i dati del campione.
    • Controlla il risultato per essere certo di non avere commesso errori.
  4. Dividi la somma per la grandezza “n” del campione. Quest'ultimo passaggio ti darà la media dei valori.
    • Nell’esempio delle palme, sai che le altezze sono: 7, 8, 8, 7,5 e 9. Ci sono 5 numeri nel campione, quindi n=5.
    • La somma delle altezze delle palme è 39,5. Devi dividere questo valore per 5 per trovare la media.
    • 39,5/5 = 7,9.
    • La media delle altezze delle palme è 7,9 m. La media, spesso, viene rappresentata con il simbolo μ, quindi μ=7,9.

Trovare la Varianza

  1. Calcola la varianza. Questo valore mostra quanto il campione si distribuisce attorno al valore medio.
    • La varianza ti dà un’idea di quanto i valori che compongono un campione si discostano dalla media aritmetica.
    • I campioni con una bassa varianza sono composti da dati che tendono a distribuirsi molto vicino alla media.
    • I campioni con un’alta varianza sono composti da dati che tendono a distribuirsi molto lontano dal valore medio.
    • La varianza, spesso, si utilizza per confrontare la distribuzione di due campioni o insiemi di dati.
  2. Sottrai il valore medio da ogni numero che compone l’insieme. Questo ti dà un’idea di quanto ogni valore si discosta dalla media.
    • Considerando l’esempio delle palme (7, 8, 8, 7,5 e 9 metri) la media era 7,9.
    • 7 - 7,9 = -0,9; 8 - 7,9 = 0,1; 8 - 7,9 = 0,1; 7,5 - 7,9 = -0,4 e 9 - 7,9 = 1,1.
    • Rifai i calcoli per verificare che siano corretti. È estremamente importante che tu non abbia commesso errori in questo passaggio.
  3. Eleva al quadrato tutte le differenze che hai trovato. Devi elevare a potenza di 2 tutti i valori per procedere al calcolo della varianza.
    • Ricorda che, considerando l’esempio delle palme, abbiamo sottratto il valore medio 7,9 da ogni valore che compone l’insieme (7, 8, 8, 7,5 e 9) e abbiamo ottenuto: -0,9; 0,1; 0,1; -0,4; 1,1.
    • Eleva al quadrato: (-0,9) = 0,81; (0,1) = 0,01; (0,1) = 0,01; (-0,4) = 0,16 e (1,1) = 1,21.
    • I quadrati ottenuti da questi calcoli sono: 0,81; 0,01; 0,01; 0,16; 1,21.
    • Controlla che siano corretti prima di procedere alla fase successiva.
  4. Somma fra loro i quadrati.
    • I quadrati del nostro esempio sono: 0,81; 0,01; 0,01; 0,16; 1,21.
    • 0,81 + 0,01 + 0,01 + 0,16 + 1,21 = 2,2.
    • Per quanto riguarda il campione delle altezze di cinque palme, la somma dei quadrati è 2,2.
    • Controlla la somma per essere sicuro che sia giusta prima di continuare.
  5. Dividi la somma dei quadrati per (n-1). Ricorda che n è il numero dei dati che compone l’insieme. Questo ultimo calcolo ti dà il valore della varianza.
    • La somma dei quadrati dell’esempio delle altezze delle palme (0,81; 0,01; 0,01; 0,16; 1,21) è 2,2.
    • In questo campione ci sono 5 valori, quindi n=5.
    • n-1=4.
    • Ricorda che la somma dei quadrati è 2,2. Per trovare la varianza procedi con la divisione 2,2/4.
    • 2,2/4=0,55.
    • La varianza del campione di altezze delle palme è 0,55.

Calcolare la Deviazione Standard

  1. Trova la varianza. Ti servirà per calcolare la deviazione standard.
    • La varianza mostra quanto lontano i dati di un insieme si distribuiscono attorno al valore medio.
    • La deviazione standard rappresenta come questi valori si distribuiscono.
    • Nell’esempio precedente, la varianza è 0,55.
  2. Estrai la radice quadrata della varianza. In questo modo trovi la deviazione standard.
    • Nell’esempio delle palme, la varianza è 0,55.
    • √0,55 = 0,741619848709566. Spesso si trovano valori con una lunga serie di decimali, quando si procede a questo calcolo. Si può tranquillamente arrotondare il numero alla seconda o terza cifra decimale per determinare la deviazione standard. In questo caso fermati a 0,74.
    • Utilizzando un valore arrotondato, la deviazione standard del campione di altezze degli alberi è 0,74.
  3. Controlla nuovamente i calcoli per la media, la varianza e la deviazione standard. Così facendo sei certo di non aver commesso errori.
    • Scrivi tutti i passaggi che hai seguito nell’esecuzione dei calcoli.
    • Tale accortezza ti aiuta a trovare eventuali sbagli.
    • Se durante il processo di verifica trovi dei valori di media, varianza o deviazione standard diversi, allora ripeti nuovamente i calcoli con grande attenzione.

Calcolare lo Z Score

  1. Usa questa formula per trovare lo Z score: z = X - μ / σ. Questa ti permette di trovare lo Z score per ogni dato del campione.
    • Ricorda che lo Z score misura di quante deviazioni standard ogni valore di un campione si discosta dalla media.
    • Nella formula X rappresenta il valore che vuoi esaminare. Ad esempio, se vuoi sapere di quante deviazioni standard l’altezza 7,5 si discosta dal valore medio, sostituisci X con 7,5 all’interno dell’equazione.
    • Il termine μ rappresenta la media. Il valore medio del campione del nostro esempio era 7,9.
    • Il termine σ è la deviazione standard. Nel campione di palme, la deviazione standard era 0,74.
  2. Inizia i calcoli sottraendo il valore medio dal dato che vuoi esaminare. In questo modo procedi con il calcolo dello Z score.
    • Consideriamo, ad esempio, lo Z score del valore 7,5 del campione di altezze degli alberi. Vogliamo sapere di quante deviazioni standard si allontana dalla media 7,9.
    • Esegui la sottrazione 7,5-7,9.
    • 7,5 - 7,9 = -0,4.
    • Controlla sempre i calcoli per essere certo di non avere commesso errori, prima di continuare.
  3. Dividi la differenza che hai appena trovato per il valore della deviazione standard. A questo punto ottieni lo Z score.
    • Come già detto in precedenza, vogliamo trovare lo Z score del dato 7,5.
    • Abbiamo già provveduto alla sottrazione dal valore medio e abbiamo trovato -0,4.
    • Ricorda che la deviazione standard del nostro campione era 0,74.
    • -0,4 / 0,74 = -0,54.
    • In questo caso lo Z score è -0,54.
    • Questo Z score significa che il dato 7,5 si trova a -0,54 deviazioni standard dal valore medio del campione.
    • Gli Z score possono essere valori sia positivi che negativi.
    • Uno Z score negativo indica che il dato è inferiore rispetto alla media; al contrario, uno Z score positivo indica che il dato preso in esame è più grande della media aritmetica.
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