Como Dividir Polinômios

Polinômios podem ser divididos como constantes numéricas, seja por fatoração ou pela divisão longa. O método utilizado dependerá de quão complexos o dividendo e o divisor serão.

Determinando Qual Abordagem Utilizar

  1. Descubra quão complexo é o divisor. O quão complicado é o divisor (polinômio que está sendo dividido) em comparação ao dividendo (polinômio pelo qual se está dividindo) determina qual será a melhor abordagem.
    • Se o divisor for um monômio (polinômio de um único termo), seja uma variável com um coeficiente ou constante (número sem uma variável que o acompanhe), pode-se provavelmente fatorar o dividendo e cancelar um dos fatores resultantes e o divisor. Veja a seção "Fatorando o Dividendo" para instruções e exemplos.
    • Se o divisor for binomial (polinômio de dois termos), pode ser possível fatorar o dividendo e cancelar um dos fatores resultantes e o divisor.
    • Se o divisor for trinomial (polinômio de três termos), pode ser possível fatorar tanto o dividendo como o divisor, cancelar o fator comum e, por fim, fatorar o dividendo ainda mais ou utilizar a divisão longa.
    • Se o divisor for um polinômio com mais de três fatores, será provavelmente necessário utilizar a divisão longa. Veja a seção "Usando a Divisão Polinomial Longa" para instruções e exemplos.
  2. Descubra quão complexo é o dividendo. Se você estiver olhando para o polinômio divisor da equação e ainda não sabe se deveria tentar fatorar o dividendo, olhe para o próprio dividendo.
    • Se o dividendo tem três termos ou menos, é provavelmente possível fatorá-lo e cancelar o divisor.
    • Se o dividendo tem mais de três termos, é provável que seja necessário dividir o divisor com a divisão longa.

Fatorando o Dividendo

  1. Observe e veja se todos os termos no dividendo contêm um fator comum com o divisor. Se esse for o caso, é possível fatorá-lo e provavelmente cancelar o divisor.
    • Se você estiver dividindo o binômio 3x - 9 por 3, é possível fatorar o 3 para fora de ambos os termos no binômio, tornando-o 3(x - 3). Você poderá então cancelar o divisor de 3, deixando um quociente de x - 3.
    • Se você estiver dividindo o binômio 24x - 18x por 6x, é possível fatorar o 6x para fora de ambos os termos no binômio, tornando-o 6x (4x - 3). Você pode cancelar o divisor de 6x, deixando o quociente de 4x - 3.
  2. Busque padrões especiais no dividendo que lhe mostrem a possibilidade de fatoração. Certos polinômios exibem termos que revelam se podem ou não ser fatorados. Se um desses fatores se adéqua ao divisor, você o poderá cancelar, deixando o fator remanescente como quociente. Aqui seguem alguns padrões para observar:
    • Diferença de quadrados perfeitos. Esse é um binômio na forma ax - b, onde os valores de a e b são quadrados perfeitos. Esse binômio é fatorado nos dois binômios (ax + b) (ax - b), onde a e b são as raízes quadradas do coeficiente e constantes do binômio anterior.
    • Trinômio de quadrados perfeitos. Esse trinômio possui forma ax + 2abx + b. Ele pode ser fatorado a (ax + b) (ax + b), que pode também ser escrito como (ax + b). Se o sinal que antecede o segundo termo for negativo, o binômio será fatorado na forma (ax - b) (ax - b).
    • Soma ou diferença de cubos. Esse é um binômio na forma ax + b ou ax - b, onde os valores de a e b são cubos perfeitos. Esse binômio é fatorado em um binômio e um trinômio. Uma soma de cubos será fatorada como (ax + b) (ab - abx + b). Uma diferença entre cubos será fatorada como (ax - b) (ax + abx + b).
  3. Use-se de tentativa e erro para fatorar o dividendo. Se você não percebe um padrão discernível no dividendo que lhe demonstre como fatorá-lo, pode-se tentar diversas combinações de fatoração possíveis. Você pode fazê-lo olhando inicialmente para a constante e, a seguir, encontrando diversos fatores que a expressem, por fim encontrando o coeficiente do termo intermediário.
    • Por exemplo, se o dividendo for x - 3x - 10, você olharia para os fatores de 10 e utilizaria o 3 para ajudar a determinar que par de fatoração é o correto.
    • O número 10 pode ser quebrado nos fatores 1 e 10 ou 2 e 5. Uma vez que o sinal que antecede o 10 é negativo, um dos binômios fatorados deverá ter um número negativo à frente de sua constante.
    • O número 3 é a diferença entre 2 e 5 e, por isso, esses serão as constantes dos binômios fatorados. Uma vez que o sinal que antecede o 3 é negativo, o binômio com o 5 deve ser aquele com um número negativo. Os fatores do binômio serão, logo, (x - 5) (x + 2). Se o divisor é um desses dois fatores, ele poderá ser cancelado, e o remanescente será o quociente.

Usando a Divisão Polinomial Longa

  1. Configure a divisão. Você escreverá a divisão longa de polinômios da mesma forma que o fará na divisão de números. O dividendo é colocado abaixo da barra de divisão longa, enquanto o divisor é colocado à sua esquerda.
    • Se você estiver dividindo x + 11x + 10 por x + 1, x + 11x + 10 será colocado abaixo da barra, enquanto x + 1 será mantido à sua esquerda.
  2. Divida o primeiro termo do divisor pelo primeiro termo do dividendo. O resultado dessa divisão irá para o topo da barra de divisão.
    • Em nosso exemplo, ao se dividir x, o primeiro termo do dividendo, por x, o primeiro termo do divisor, teremos como resultado x. Você escreverá um x sobre a barra, logo acima do x
  3. Multiplique o x na posição do quociente pelo divisor. Escreva o resultado da multiplicação abaixo dos termos mais à esquerda do dividendo.
    • Continuando com o nosso exemplo, multiplicar x + 1 por x produzirá x + x. Você escreverá esses termos abaixo dos dois primeiros do dividendo.
  4. Subtraia do dividendo. Para fazê-lo, primeiro inverta os sinais do produto da multiplicação. Após a subtração, traga os termos remanescentes do dividendo.
    • Inverter os sinais de x nos dá -x - x. Subtrai-los dos primeiros dois termos do dividendo resultará em 10x. Depois de trazer para baixo o termo remanescente do dividendo, você terá 10x + 10 como quociente provisório com o qual seguir no processo de divisão.
  5. Repita os três passos anteriores no quociente provisório. Você novamente dividirá o primeiro termo do divisor por aquele no quociente provisório, escrever o resultado acima da barra de divisão após o primeiro termo do quociente, multiplicar o resultado pelo divisor e, em seguida, calcular o que subtrair do quociente provisório.
    • Uma vez que x está 10 vezes incluído em 10x, você escreverá "+ 10" depois do x na posição do quociente, na barra de divisão.
    • Multiplicar x + 1 por 10 resulta em 10x + 10. Você o escreverá abaixo do quociente provisório e inverterá os sinais para a subtração, resultando em -10x - 10.
    • Ao realizar a subtração, você terá um resto de 0. Logo, dividir x + 11x + 10 por x + 1 produz um quociente de x + 10.
      • Seria possível alcançar o mesmo resultado através da fatoração, mas o presente exemplo foi escolhido para manter a divisão o mais simples possível.

Dicas

  • Se, ao realizar a divisão longa em um polinômio, você tiver um resto diferente de zero, é possível torná-lo parte do quociente escrevendo-o como fração, usando o resto como numerador e o divisor como denominador. Se, em nosso longo exemplo de divisão, o dividendo tivesse sido x + 11x + 12 no lugar de x + 11x + 10, a divisão por x + 1 teria resultado em um resto de 2. O quociente completo, logo, seria escrito como: x + 10 + [2 /( x + 1)].
  • Se o seu dividendo tem um intervalo nos graus de seus termos, como 3x + 9x + 18, é possível inserir o termo faltante com um coeficiente de 0 — nesse caso, 0x — para facilitar o posicionamento dos outros termos ao longo da divisão. Fazê-lo não alterará o valor do dividendo.
  • Esteja ciente de que alguns livros de álgebra formatam a divisão de polinômios longos com o quociente e o dividendo justificados à direita ou com os termos apresentados de forma que aqueles com grau semelhante estão alinhados uns com os outros. No entanto, você provavelmente achará mais fácil, ao realizar a divisão à mão, justificar o quociente e o dividendo à esquerda, como descrito nos passos acima.

Avisos

  • Mantenha as suas colunas alinhadas durante a divisão polinomial longa, para evitar subtrair os termos errados uns dos outros.
  • Ao escrever o quociente de uma divisão polinomial que inclua um termo fracional, utilize sempre um sinal positivo entre o número inteiro (ou variável inteira) e o termo fracional.
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