Como Encontrar o Inverso de uma Função Quadrática

Calcular o inverso de uma função linear é fácil: basta fazer do x o sujeito da equação, e trocar o y com o x na expressão resultante. Encontrar o inverso de uma função quadrática é consideravelmente mais complicado, porque as funções quadráticas não são limitadas por um domínio adequado, com funções uma a uma.

Passos

  1. Faça o y ou f(x) o sujeito da fórmula, se já não estiver assim. Durante a manipulação algébrica, não mude a função de maneira nenhuma e faça as mesmas operações dos dois lados da equação.
  2. Rearranje a função para que ela fique na forma y=a(x-h)+k. Isso não é fundamental apenas para encontrar o inverso da função, mas também se a função tem mesmo um inverso. Você pode fazer isso por dois métodos:
    • Completando quadrados
      1. "Tome o fator comum" da equação inteira pelo valor de a (o coeficiente de x). Faça isso escrevendo o valor de a, abrindo parênteses e escrevendo a equação inteira, então dividindo cada termo pelo valor de a, como mostrado no diagrama. Deixe o lado esquerdo da equação intocado, visto que não houve mudanças no lado direito.
      2. Complete o quadrado. O coeficiente de x é (b/a). Divida por dois, tendo (b/2a), e faça o quadrado, para ter (b/2a). Adicione e substraia isso da equação. Isso não causará efeito na equação. Se você olhar de perto, verá que esses três primeiros termos dentro dos parênteses estão na forma a+2ab+b, onde a é x, e b é (b/2a). Claro que esses dois valores serão numéricos,em vez de algébricos, para uma equação real. Isso é um quadrado completo.
      3. Como esses três primeiros termos são agora um quadrado perfeito, você pode escrevê-los na forma (a-b) ou (a+b). O sinal entre os dois termos será o mesmo do coeficiente de x na equação.
      4. Pegue o termo que está fora do quadrado perfeito, fora dos parênteses ao quadrado. Isso tornará a equação da forma y=a(x-h)+k, como planejado.
    • Comparando coeficientes
      1. Forme uma identidade em x. Na esquerda, coloque a função expressa em termos de x, e na direita ponha a função na forma que você quer, nesse caso a(x-h)+k. Isso permitirá que você encontre os valores de a, h e k, que são valores reais para x.
      2. Abra e expanda os parênteses no lado direito da identidade. Nós não devemos tocar no lado esquerdo da equação, e podemos omitir isso do trabalho. Note que todo o trabalho no lado direito ée algébrico, como mostrado, e não numérico.
      3. Identifique os coeficientes de cada potência de x. Então agrupe-os e coloque-os entre parênteses, como mostrado.
      4. Compare os coeficientes de cada potência de x. O coeficiente de x no lado direito deve ser igual àquele no lado esquerdo. Isso dá o valor de a. O coeficiente de x no lado direito deve ser igual ao do lado esquerdo. Isso leva à formação de uma equação com a e h, que pode ser resolvida substituindo o valor de a, que já foi descoberto. O coeficiente de x, ou 1, no lado esquerdo deve ser igual ao do lado direito. A comparação deles resulta em uma equação que ajudará a encontrar o valor de k.
      5. Usando os valores de a, h e k encontrados anteriormente, podemos escrever a equação na forma desejada.
  3. Assegure-se de que o valor de h esteja ou no limite do domínio, ou fora dele. O valor ed h dá a coordenada em x do ponto de inflexão da equação. Um ponto de inflexão dentro do domínio significaria que a função não é um pra um, e por isso não teria um inverso. Note que a equação é a(x-h)+k. Então se for (x+3) dentro dos parênteses, o valor de h é 3 negativo.
  4. Faça de (x-h) o sujeito da fórmula. Faça isso subtraindo o valor de k dos dois lados da equação, e então dividindo os dois lados por a. Agora você terá valores numéricos para a, h e k, então use eles, não os símbolos.
  5. Tire a raiz quadrada dos dois lados da equação. Isso removerá a potência de (x-h). Não esqueça de pôr o sinal "+/-"no outro lado da equação.
  6. Decida entre o sinal de + e o de -, pois você não pode colocar os dois (colocar os dois faria dela uma função um para muitos, o que a invalidaria). Para isso, olhe para o domínio. Se o domínio estiver à esquerda do ponto estacionário, isso é, x < um certo valor, use o sinal -. Se o domínio estiver à direita do ponto estacionário, isso é, x > um certo valor, use o sinal +. Então, faça de x o sujeito da fórmula.
  7. Substitua y por x e x por f(x), e parabenize você mesmo por ter encontrado o inverso de uma função quadrática.

Dicas

  • Confirme o inverso calculando o valor de f(x) para um certo valor de x, e então substituindo o valor de f(x) no inverso para ver se resulta no valor original de x. Por exemplo, se a função de 3 [f(3)] é 4, substituindo 4 na inversa deve resultar em 3.
  • Se não der muito trabalho, você também pode verificar o inverso inspecionando o gráfico. Ele deve parecer como a função original refletida através da linha y=x.
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