Como Somar ou Subtrair Vetores

Vetores são quantidades físicas que possuem magnitude, direção e sentido, como a velocidade, aceleração e deslocamento, por exemplo, ao contrário de escalares, que possuem somente magnitude, tais como temperatura ou energia. Enquanto os escalares podem ser somados simplesmente adicionando suas magnitudes (por exemplo 5 kJ de trabalho mais 6 kJ de trabalho é igual a 11 kJ de trabalho), os vetores são um pouco mais complicados de se somar ou subtrair. Este artigo descreve como somá-los ou subtraí-los.

Somando e Subraindo Vetores com Componentes Conhecidos

  1. Represente os componentes dimensionais vetoriais através da nomenclatura vetorial. Pelo fato dos vetores possuem magnitude e direção, normalmente é possível desmembrá-los em pedaços baseados nas suas dimensionalidades x, y, e/ou z. Essas dimensões são normalmente representadas com uma nomenclatura parecida com a que é usada para descrever pontos em um sistema de coordenadas (por exemplo, <x,y,z>, etc.). Se esses pedaços são conhecidos, a tarefa de somar ou de subtrair vetores fica tão simples quanto somar ou subtrair suas coordenadas x, y e z.
    • Repare que os vetores podem uni, bi ou tridimensionais. Além disso, eles possuem um componente x, outro que é x e y, e ainda outro que é x, y e z. Nosso exemplo abaixo envolve vetores tridimensionais, mas o processo é parecido para vetores uni ou bidimensionais.
    • Vamos considerar dois vetores tridimensionais, o vetor A e o vetor B. Podemos usar a nomenclatura vetorial como A = <a1, b1, c1> e B = <a2, b2, c2>, na qual a1 e a2 são seus componentes x, b1 e b2 são seus componentes y e c1 e c2 são seus componentes z.
  2. Para somar dois vetores, some seus componentes. Se dois vetores são conhecidos, é possível somar os vetores somando seus componentes dimensionais correspondentes. Ou seja, some o componente x do primeiro vetor com o componente x do segundo, e faça o mesmo para y e z. As respostas obtidas pela soma dos componentes x, y e z dos seus vetores originais são os componentes x, y e z do seu novo vetor.
    • Em termos gerais, A+B = <a1+a2,b1+b2,c1+c2>.
    • Vamos somar dois vetores A e B. A = <5, 9, -10> e B = <17, -3, -2>. A + B = <5+17, 9+-3, -10+-2>, ou <22, 6, -12>.
  3. Para subtrair dois vetores, subtraia seus componentes. Ao subtrair um vetor de outro, pode-se chamar o processo como o "contrário da soma". Se os componentes de dois vetores são conhecidos, pode-se subtrair um vetor de outro através da subtração dos componentes do primeiro dos componentes do segundo (ou ainda, através da soma dos seus negativos).
    • Em termos gerais, A-B = <a1-a2,b1-b2,c1-c2>
    • Vamos subtrair dois vetores A e B. A = <18, 5, 3> e B = <-10, 9, -10>. A - B = <18--10, 5-9, 3--10>, ou <28, -4, 13>.

Somando e Subtraindo de Olho Usando o Método Cabeça e Rabo

  1. Represente visualmente os vetores desenhando-os com cabeças e rabos. Como eles têm magnitude e direção, pode-se dizer que eles também tem uma cabeça e rabo. Ou seja, eles têm um "ponto inicial" e "ponto final", apontando para a direção do vetor cuja distância ponto inicial é igual à magnitude do vetor. Quando são desenhados, os vetores ficam em forma de flechas. A "ponta" da flecha é a cabeça do vetor, enquanto a "base" dela é o rabo.
    • Se você estiver fazendo um desenho em escala, você deve tomar o cuidado de construir todos os ângulos muito cuidadosamente. Caso contrário, ângulos incorretos vão afetar os resultados quando dois vetores são somados ou subtraídos com o método desta parte do artigo.
  2. Para somar,desenhe ou deslize o segundo vetor para que seu rabo se junte à cabeça do primeiro. Este procedimento basta caso esteja somando apenas dois vetores.
    • Repare que a ordem usada para juntar os vetores não é importante, desde que se use sempre o mesmo ponto inicial. Vetor A + Vetor B = Vetor B + Vetor A
  3. Para subtrair, some os "negativos" do vetor. Subtrair os vetores a olho é relativamente simples. Basta reverter as direções dos vetores mantendo suas magnitudes, e some à cabeça e rabo do seu vetor como de costume. Ou seja, para subtrair um vetor, gire-o 180 e acrescente o mesmo.
  4. Caso esteja somando ou subtraindo mais do que dois vetores, junte todos os outros vetores na sequência cabeça-rabo. A ordem usada não importa. Este método pode ser usado para vários vetores.
  5. Desenhe um novo vetor partindo do rabo do primeiro até a cabeça do último. Isso serve para somar ou subtrair tanto dois vetores quanto centenas deles, o vetor resultante do ponto inicial original (o rabo do primeiro vetor) até o ponto final dos seus vetores adicionados (a cabeça do último vetor) é o vetor resultante, ou seja, a soma de todos os seus vetores. Repare que este vetor é idêntico ao vetor obtido pela soma dos componentes x,y, e/ou z de todos os vetores.
    • Se você desenhou todos os seus vetores em escala e mediu todos os ângulos com exatidão, você conseguirá encontrar a magnitude do vetor resultante tirando a medida do seu comprimento. Pode-se também medir o ângulo que o vetor resultante forma com um vetor específico ou a horizontal/vertical, etc, para descobrir qual é a sua direção.
    • Se você não desenhou todos os vetores em escala, é provável que você tenha que calcular a magnitude do vetor resultante usando a trigonometria. A regra do seno e do cosseno podem ser úteis. Caso esteja somando mais do que dois vetores, é melhor somar os primeiros dois e, em seguida, somar o vetor resultante com o terceiro, e assim por diante. A seção logo abaixo trata-se justamente sobre esse assunto.
  6. Represente seu vetor resultante através de sua magnitude e direção. Os vetores são definidos pelo seu comprimento e direção. Como mencionado acima, partindo do pressuposto de que você desenhou os vetores com precisão, a magnitude do seu novo vetor é o seu comprimento, e sua direção consiste em seu ângulo relativo à vertical, horizontal, etc. Use as unidades dos seus vetores somados ou subtraídos para escolher as unidades para a magnitude do seu vetor resultante.
    • Por exemplo, se os vetores que somamos representassem velocidades em ms, poderíamos definir nosso vetor resultante como "uma velocidade de x ms a y na horizontal".

Soma e Subtração de Vetores Através de Seus Componentes Dimensionais

  1. Use a trigonometria para descobrir quais são os componentes de um vetor. Para tanto, é normalmente necessário saber sua magnitude e sua direção em relação à horizontal ou vertical e ter um conhecimento prático de trigonometria. Supondo que temos um vetor bidimensional para começar, defina seu vetor como a hipotenusa de um triângulo reto cujos outros dois lados são paralelos aos eixos w e y. Esses dois lados podem ser vistos como os componentes vetoriais cabeça-rabo que ajudam a compor o seu vetor original.
    • Os comprimentos dos dois lados são iguais às magnitudes dos componentes x e y do seu vetor e podem ser calculados através da trigonometria. Se o x é a magnitude do seu vetor, o lado adjacente ao ângulo do vetor (relativo à horizontal, vertical, etc) é xcos(θ), enquanto o lado oposto é xsin(θ).
    • Também é importante observar a direção dos seus componentes. Se o componente aponta para a direção negativa de um de seus eixos, ele recebe um sinal negativo. Por exemplo, em um vetor bidimensional, se um componente aponta para a esquerda ou para baixo, ele recebe um sinal negativo.
    • Por exemplo, digamos que temos um vetor com a magnitude de 3 e a direção de 135 relativa à horizontal. Com essa informação, podemos determinar que o seu componente x é 3cos(135) = -2.12 e que seu componente y é 3sin(135) = 2.12
  2. Some ou subtraia os componentes correspondentes de dois ou mais vetores. Ao encontrar os componentes de todos os seus vetores, basta somar suas magnitudes para encontrar os componentes do seu vetor resultante. Primeiro, some todas as magnitudes dos seus componentes horizontais (os que estão paralelos ao eixo x). Separadamente, some todas as magnitudes dos componentes verticais (os que estão paralelos ao eixo y). Se um componente tem um sinal negativo (-), sua magnitude é subtraída, e não somada. Os resultados obtidos são os componentes do seu vetor resultante.
    • Por exemplo, suponha que o nosso vetor do passo anterior, <-2.12, 2.12>, está sendo somado ao vetor <5.78, -9>. Neste caso, nosso vetor resultante seria <-2.12+5.78, 2.12-9>, ou <3.66, -6.88>.
  3. Calcule a magnitude do vetor resultante usando o Teorema de Pitágoras. Este teorema, c=a+b, resolve para os comprimentos dos lados e para os triângulos retos. Como o triângulo formado pelo nosso vetor resultante e seus componentes é um triângulo reto, podemos usar esse fato para encontrar o comprimento do nosso vetor e, consequentemente, sua magnitude. Com o c como a magnitude do vetor resultante, o qual você está solucionando, defina a como a magnitude de seu componente x e b como a magnitude de seus componentes y. Use a álgebra para resolver o problema.
    • Para encontrar a magnitude do vetor cujos componentes encontramos no passo anterior, <3.66, -6.88>, vamos usar o Teorema de Pitágoras. Resolva conforme mostrado abaixo:
      • c=(3.66)+(-6.88)
      • c=13.40+47.33
      • c=√60.73 = 7.79
  4. Calcule a direção do vetor resultante com a função da tangente. Finalmente é hora de encontrar a direção do vetor resultante. Use a fórumla θ=tan(b/a), na qual θ é o ângulo que o vetor resultante forma com o eixo x ou a horizontal, b é a magnitude do componente y e a é a magnitude do componente x.
    • Para encontrar a direção do nosso vetor do exemplo, vamos usar θ=tan(b/a).
      • θ=tan(-6.88/3.66)
      • θ=tan(-1.88)
      • θ=-61.99
  5. Represente seu vetor resultante através de sua magnitude e direção. Como mencionado acima, os vetores são definidos pela sua magnitude e direção. Não se esqueça de usar as unidades apropriadas para a magnitude do seu vetor.
    • Por exemplo, se nosso vetor do exemplo representasse uma força (em Newtons), então poderíamos escrevê-lo como "uma força de 7.79 N a -61.99 na horizontal"'.

Dicas

  • Vetores não devem ser confundidos com magnitudes.
  • Vetores na mesma direção podem ser somados ou subtraídos pela adição ou subtração de suas magnitudes. Se você somar dois vetores em direções opostas, suas magnitudes são subtraídas , não somadas.
  • Você pode encontrar a magnitude de um vetor em três dimensões usando a fórmula a=b+c+d , onde a é a magnitude do vetor e b, c e d são as componentes em cada direção.
  • Vetores representados na forma xi + yj + zk podem ser somados ou subtraídos simplesmente somando ou subtraindo os coeficientes dos três vetores unitários. A resposta também será na forma i,j,k.
  • Vetores de coluna podem ser somados ou subtraídos simplesmente somando ou subtraindo os valores em cada coluna.
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