Como Resolver uma Matriz 2x3

Um sistema de equações é um conjunto de duas ou mais equações que compartilham um conjunto de incógnitas e, portanto, uma solução em comum. Para equações lineares, representadas graficamente por retas, a solução do sistema é o ponto de interseção das retas. Matrizes podem ser úteis para reescrever e resolver sistemas lineares.

Compreendendo os fundamentos

  1. Entenda a terminologia. Equações lineares possuem componentes distintos. A variável é um símbolo (normalmente, uma letra como x ou y) para um número que você ainda não conhece. A constante é um número que não muda de valor. O coeficiente é o número que vem antes da variável, utilizado para multiplicá-la.
    • Por exemplo, na equação linear 2x + 4y = 8, x e y são variáveis. A constante é o 8. Os números 2 e 4 são coeficientes.
  2. Reconheça a forma do sistema de equações. Um sistema de equações de duas variáveis pode ser escrito da seguinte forma: ax + by = p, cx + dy = q Qualquer uma das constantes (p,q) pode ser zero, com a ressalva de que cada uma das equações deve ter pelo menos uma variável (x,y).
  3. Entenda uma matriz de equações. Quando você tem um sistema linear, você pode utilizar uma matriz para reescrevê-lo e, então, usar propriedades algébricas matriciais para resolvê-lo. Para reescrever um sistema linear, use A para representar a matriz de coeficientes, C para representar a matriz de constantes e X a matriz (ou vetor) de incógnitas.
    • O sistema linear acima, por exemplo, pode ser reescrito como uma equação matricial como a seguir: AX = C.
  4. Entenda matrizes aumentadas. Uma matriz aumentada é uma matriz obtida acrescentando colunas de duas matrizes. Se você tem duas matrizes, A e C, pode criar uma matriz aumentada colocando-as juntas. A matriz aumentada ficaria dessa forma:
    • Por exemplo, considere o sistema linear a seguir: 2x + 4y = 8 x + y = 2 Sua matriz aumentada seria uma matriz 2x3 que se parece com:

Transformando a matriz aumentada para resolver o sistema

  1. Entenda as operações elementares. Você pode realizar certas operações em uma matriz para transformá-la, mantendo-a equivalente à matriz original. Essas operações são chamadas de operações elementares. Para resolver uma matriz 2x3, por exemplo, você pode usar operações elementares de linha para transformar a matriz em uma matriz triangular. Operações elementares incluem:
    • trocar duas linhas.
    • multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
    • multiplicar uma linha e, em seguida, adicionar a uma outra linha.
  2. Multiplique a segunda linha por um número diferente de zero. A ideia é fazer aparecer um zero na sua segunda linha, então, multiplique de forma que isso aconteça.
    • Por exemplo, digamos que você tem uma matriz da seguinte forma: Você pode manter a primeira linha e usá-la para produzir um zero na segunda linha. Para fazer isso, primeiro, multiplique a segunda linha por dois, como a seguir:
  3. Multiplique novamente. Para conseguir um zero na segunda linha, você pode precisar multiplicar a linha de novo utilizando o mesmo princípio.
    • No exemplo acima, multiplique a segunda linha por -1, como a seguir: Quando você completar a multiplicação, sua nova matriz terá a seguinte forma:
  4. Adicione a primeira linha à segunda linha. A seguir, adicione a primeira e a segunda linhas para produzir um zero na primeira coluna da segunda linha.
    • No exemplo acima, adicione as duas linhas como a seguir:
  5. Anote o novo sistema linear para a matriz triangular. A essa altura, você tem uma matriz triangular. Você pode usar essa matriz para obter um novo sistema linear. A primeira coluna corresponde à incógnita x, e a segunda coluna, à incógnita y. A terceira coluna corresponde à constante da equação.
    • Portanto, para o exemplo acima, seu novo sistema seria semelhante a:
  6. Resolva para uma das variáveis. Usando seu novo sistema, determine qual variável pode ser determinada mais facilmente e resolva para ela.
    • No exemplo acima, é preferível resolver a última equação e, depois, voltar para a primeira para encontrar o valor das incógnitas. A segunda equação fornece uma solução fácil para y; uma vez que x foi removido, você pode perceber que y = 2.
  7. Substitua para resolver para a segunda variável. Uma vez que você determinou uma das variáveis, pode substituir seu valor na outra equação para resolver para a outra variável.
    • No exemplo acima, substitua y por 2 na primeira equação para encontrar o valor de x, como a seguir:

Dicas

  • Os elementos dispostos em uma matriz são geralmente chamados de escalares.
  • Lembre-se de que, para resolver uma matriz 2x3, você deve utilizar operações elementares de linha. Você não pode utilizar operações elementares de colunas.
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