Como Usar a Regra do 72

A regra do 72 é uma regra prática usada em finanças para estimar rapidamente o número de anos que uma determinada quantidade de capital leva para dobrar com uma taxa de juros anual, ou para estimar o taxa de juros anual necessária para dobrar uma quantia de dinheiro ao longo de um determinado número de anos. A regra estabelece que “a porcentagem de juros vezes o número de anos que a quantidade básica de dinheiro leva para dobrar é aproximadamente igual a 72“. A regra de 72 pode ser aplicada tanto para o crescimento exponencial (como em juros compostos) como para o decaimento exponencial.

Crescimento exponencial

  1. Temos que: R . T = 72, onde R = taxa de crescimento (por exemplo, a taxa de juros), T = o tempo de duplicação (por exemplo, o tempo que leva para dobrar uma quantia em dinheiro).
  2. Insira um valor para R = taxa de crescimento. Por exemplo, quanto tempo leva para dobrar de $100 a $200 em uma taxa de juros de 5% ao ano? Substituindo R = 5, temos 5 . T = 72.
  3. Resolva a variável desconhecida. No exemplo dado, passe o R = 5 dividindo, para obter T = 72/5 = 14,4. Portanto, leva 14,4 anos para dobrar a quantia de $100 a $200 com a taxa de juros de 5% ao ano.
  4. Estude estes outros exemplos:
    • Quanto tempo uma dada quantia de dinheiro leva para dobrar com uma taxa de 10% ao ano? Temos que: 10 . T= 72=7,2 anos.
    • Quanto tempo leva para transformar $100 em $1600 com uma taxa de 7,2% ao ano? Perceba que de $100 para $1600 são 4 duplicações (o dobro de $100 é de $200, o dobro de $200 é $400, o dobro de $400 é $800, e o dobro de $800 é $1600). Para cada duplicação, 7,2 . T = 72, então T = 10. Multiplique por 4 que resulta em 40 anos.

Estimando o decaimento exponencial

  1. Faça a estimativa do tempo para perder metade de seu capital, no caso de inflação. Resolva T = 72/R, após inserir um valor para R análogo à estimativa do tempo de duplicação para o crescimento exponencial (é a mesma que a fórmula de duplicação, mas você considera o resultado como inflação, em vez de crescimento), por exemplo:
    • Quanto tempo leva para que $100 desvalorize a $50 com uma taxa de inflação de 5%?
      • Temos que: 5 . T = 72, então 72/5 = T, resultando em T = 14,4 anos para que o poder de compra se reduza à metade com uma inflação de 5%.
  2. Estime a taxa de decaimento de um determinado período de tempo: Resolva R = 72/T depois de inserir um valor para T análogo à estimativa de taxa de crescimento para o crescimento exponencial, por exemplo:
    • Se o poder de compra passar de $100 para $50 em dez anos, qual a taxa de inflação ao ano?
      • Temos que: R . 10 = 72, onde T = 10, então temos R = 72/10 = 7,2% para esse exemplo.
  3. Cuidado! A tendência (ou média) – "fora da margem" – de inflação, ou valores atípicos, ou exemplos particulares são simplesmente ignorados e desconsiderados.

Dicas

  • A aplicação de Felix Corollary para a regra do 72 é usada para aproximar o valor futuro de uma anuidade (uma série de pagamentos regulares). Ela confirma que o valor futuro de uma anuidade, cujo percentual da taxa de juros e o número de pagamentos multiplicados somam 72, pode ser aproximadamente a soma dos pagamentos multiplicada por 1,5. Por exemplo, 12 pagamentos periódicos de $1000, crescendo 6% por período, serão aproximadamente $18,000 após o último período. Esta é uma aplicação de Felix Corollary para a regra do 72, já que 6 (a taxa percentual de juros) vezes 12 (o número de pagamentos) é igual a 72, então o valor da anuidade é de aproximadamente 1,5 multiplicado por 12 vezes $1000.
  • O valor 72 é escolhido como uma opção conveniente de numerador , uma vez que tem muitos divisores menores: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, e 12. Ele é uma boa aproximação para a composição anual, e para composições com taxas típicas (de 6% para 10%). As aproximações são menos exatas com taxas de juros mais elevadas.
  • Deixe que a regra do 72 trabalhe por você começando a economizar agora . Com uma taxa de crescimento de 8% ao ano (a taxa de retorno aproximada do mercado de ações), você iria dobrar seu dinheiro em 9 anos (8 . 9 = 72), quadruplicar o seu dinheiro em 18 anos, e ter 16 vezes o valor do seu dinheiro em 36 anos.

Derivação

Períodos de composição
  1. Nos períodos de composição, FV = PV (1 + r)^T, onde FV = valor futuro, PV = valor presente, r = taxa de crescimento, T = tempo.
  2. Se o dinheiro dobrou, FV = 2 . PV; portanto, 2PV = PV (1 + r)^T ou 2 = (1 + r)^T, considerando que o valor presente seja diferente de zero.
  3. Resolva o T com os logaritmos naturais em ambos os lados, reorganizando para obter T = ln(2)/ln (1 + r).
  4. A série de Taylor para ln(1 + r) em torno de 0 é r - r/2 + r/3 - ... Para valores pequenos de r, as contribuições dos termos maiores são pequenas e a expressão se aproxima de r, de modo que: t = ln(2)/r.
  5. Note que ln(2) ≅ 0.693, de modo que T ≅ 0,693/r (ou T = 69,3/R, expressando a taxa de juros como porcentagem R de 0-100%), que é a regra do 69,3. Outros números, tais como 69, 70, e 72 são utilizados para se calcular de maneira mais fácil.
Composição contínua
  1. Para composições periódicas com composições múltiplas por ano, o valor futuro é dado por FV = PV (1 + r / n)^nT, onde FV = valor futuro PV = valor presente, r = taxa de crescimento, T = tempo, e n = número de períodos de composição por ano. Para a composição contínua, n se aproxima do infinito. Usando a definição de e = lim (1 + 1/n)^n com n se aproximando do infinito, a expressão fica: FV = PV e^(rT).
  2. Se o dinheiro dobrou, FV = 2*PV, so 2PV = PV e^(rT), or 2 = e^(rT), considerando o valor presente diferente de zero.
  3. Resolva o T com logaritmos naturais dos dois lados, reorganizando para obter T = ln(2)/r = 69.3/R (onde R = 100r para expressar a taxa de crescimento em porcentagem). Esta é a regra do 69,3.
  • Para a composição contínua, o número 69,3 (ou aproximadamente 69) traz resultados mais precisos, já que ln(2) é aproximadamente 69,3%, e R . t = ln(2), onde R = taxa de crescimento (ou de decaimento), T = tempo duplicado (ou reduzido à metade) e ln(2) é o logaritmo natural de 2,70, que também pode ser usado como uma aproximação para a composição contínua ou diária (que está próxima à contínua) para facilitar o cálculo. Estas variações são conhecidas como regra do 69,3 , regra de 69 ou regra do 70 .
    • Um ajuste de precisão semelhante para a regra do 69,3 é utilizado para taxas altas com composição diária: T = (69,3 + R/3)/R.
  • Para estimar o tempo de duplicação das taxas mais elevadas, ajuste o 72 pela adição de 1 para cada 3 percentagens superiores a 8%. Isto é, T = [72 + (R - 8%) / 3] / R. Por exemplo, se a taxa de juros é de 32%, o tempo que leva para duplicar uma determinada quantidade de dinheiro é T = [72 + (32 - 8) / 3] / 32 = 2,5 anos. Note-se que 80 é usado aqui, em vez de 72, o que teria dado 2,25 anos para o tempo de duplicação.
  • Aqui está a tabela com o número de anos necessários para se dobrar uma dada quantia em dinheiro com diferentes taxas de juros e a comparação dos valores aproximados em várias regras
Taxa Número de Anos Regra do 72 Regra do 70 Regra do 69.3 Regra de E-M0.25% 277.605 288.000 280.000 277.200 277.5470.5% 138.976 144.000 140.000 138.600 138.9471% 69.661 72.000 70.000 69.300 69.6482% 35.003 36.000 35.000 34.650 35.0003% 23.450 24.000 23.333 23.100 23.4524% 17.673 18.000 17.500 17.325 17.6795% 14.207 14.400 14.000 13.860 14.2156% 11.896 12.000 11.667 11.550 11.9077% 10.245 10.286 10.000 9.900 10.2598% 9.006 9.000 8.750 8.663 9.0239% 8.043 8.000 7.778 7.700 8.06210% 7.273 7.200 7.000 6.930 7.29511% 6.642 6.545 6.364 6.300 6.66712% 6.116 6.000 5.833 5.775 6.14415% 4.959 4.800 4.667 4.620 4.99518% 4.188 4.000 3.889 3.850 4.23120% 3.802 3.600 3.500 3.465 3.85025% 3.106 2.880 2.800 2.772 3.16830% 2.642 2.400 2.333 2.310 2.71840% 2.060 1.800 1.750 1.733 2.16650% 1.710 1.440 1.400 1.386 1.84860% 1.475 1.200 1.167 1.155 1.65070% 1.306 1.029 1.000 0.990 1.523
  • A regra de segunda ordem de Eckart-McHale , ou regra de E-M, traz uma correção multiplicativa às regras do 69,3 ou do 70 (mas não para a do 72) para uma melhor precisão dos intervalos das taxas de juros mais elevadas. Para calcular a aproximação de E-M, multiplique o resultado da regra do 69,3 (ou 70) por 200/(200-R), ou seja, T = (69,3/R) . (200/(200-R)). Por exemplo, se a taxa de juros é de 18%, a regra do 69,3 diz que t = 3,85 anos. A Regra de E-M multiplica isso por 200/(200-18), dando o tempo de duplicação de 4,23 anos, o que melhor se aproxima do tempo de duplicação real que é de 4,19 anos com essa taxa.
    • A regra de terceira ordem de Padé traz uma aproximação ainda melhor, utilizando o fator de correção (600 + 4R)/(600 + R), ou seja, T = (69,3/R) . ((600 + 4R)/(600 + R )). Se a taxa de juros é de 18%, a regra de terceira ordem de Padé dá aproximadamente o T = 4,19 anos.

Avisos

  • Não deixe que a regra de 72 trabalhe contra você quando você assumir uma dívida de juros altos. Evite dívidas do cartão de crédito! A uma taxa de juros média de 18%, o cartão de crédito duplica a sua dívida em apenas 4 anos (18 . 4 = 72), quadruplica em apenas 8 anos, e mantém a escala com o tempo. Combata as dívidas do cartão de crédito como se combatem as pragas.
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