Como Calcular o Valor Z

O valor Z (ou valor padronizado) permite que você colete uma amostra qualquer dentro de um conjunto de dados e determine quantos desvios padrão acima ou abaixo da média ela está. Para encontrar o valor Z de uma amostra, você precisará encontrar a média, a variância e o desvio padrão da amostra. Para calcular o valor Z, você deve encontrar a diferença do valor da amostra e da média aritmética e depois dividir o resultado pelo desvio padrão. Embora envolva várias etapas, é um cálculo bastante simples.

Calcule a média aritmética

  1. Observe seu conjunto de dados. Você precisará conhecer as seguintes informações para poder calcular a média aritmética ou valor médio da sua amostragem.
    • Quantos valores existem na sua amostra? No nosso exemplo da amostra de alturas de palmeiras, há 5 valores.
    • O que esses valores representam? No nosso exemplo, esses valores indicam a altura das palmeiras.
    • Observe a variância dos valores da amostra. Esses dados estão muito ou pouco dispersos (ou espalhados)?
  2. Reúna todas as informações necessárias. Você vai precisar de todos os dados a seguir para começar os cálculos.
    • A média aritmética é o valor médio dos valores da amostragem.
    • Para calculá-la, você deverá somar todos os valores da amostra e dividir esse resultado pelo tamanho da amostra.
    • Em notação matemática, n representa o tamanho da amostragem. No exemplo das alturas de palmeiras, n = 5 pois existem 5 valores nessa amostra.
  3. Some todos os valores da sua amostragem. Este é o primeiro passo para calcular a média aritmética ou valor médio da amostra.
    • Considerando a amostra das alturas de 5 palmeiras, temos os valores 2,13, 2,43, 2,43, 2,28 e 2,74 metros.
    • 2,13 + 2,43 + 2,43 + 2,28 + 2,74 = 12,01. Tal é a soma de todos os valores da amostra.
    • Verifique sua resposta para ter certeza de que a soma está correta.
  4. Divida a soma pelo tamanho da amostragem (n). O resultado dessa divisão será a média ou valor médio dos dados.
    • Como exemplo, usaremos a amostra de alturas de palmeiras (em metros): 2,13, 2,43, 2,43, 2,28 e 2,74. Existem 5 valores na amostra, portanto n = 5.
    • O somatório das alturas de palmeiras é aproximadamente 12. Agora, devemos dividir este valor por 5 para encontrar a média aritmética.
    • 12/5 = 2,4.
    • A média das alturas das palmeiras é de 2,4 metros. Geralmente, a média populacional é representada pelo símbolo μ, portanto teremos μ = 2,4.

Calcule a variância

  1. Calcule a variância. A variância é a medida de dispersão que representa o quão distante da média aritmética estão os valores da amostragem.
    • Esse resultado dará uma ideia do quão dispersos estão os valores da sua amostra.
    • Amostras de variação baixa apresentam valores próximos da média aritmética.
    • Amostras de variação alta apresentam valores distantes da média aritmética.
    • A variância é utilizada geralmente para comparar a distribuição de dados entre dois conjuntos ou amostragens.
  2. Subtraia a média aritmética de cada um dos valores da amostragem. Isso dará uma ideia da diferença entre a média e cada um dos números da amostragem.
    • Na nossa amostra de alturas de palmeiras (2,13, 2,43, 2,43, 2,28 e 2,74 metros), a média aritmética vale 2,4.
    • 2,13 - 2,4 = -0,27, 2,43 - 2,4 = 0,03, 2,43 - 2,4 = 0,03, 2,28 - 2,4 = -0,12 e 2,74 - 2,4 = 0,34.
    • Refaça os cálculos para ter certeza de que os resultados estejam corretos. É muito importante que todos os valores dessa etapa estejam certos.
  3. Calcule o quadrado das subtrações do passo anterior. Você vai precisar de cada um desses resultados para poder obter a variância da sua amostragem.
    • Lembre-se de que, na nossa amostra, subtraímos a média aritmética 2,4 de cada um dos valores da amostragem (2,13, 2,43, 2,43, 2,28 e 2,74) e obtemos ao seguintes valores: -0,27, 0,03, 0,03, -0,12 e 0,34.
    • Elevando esses valores ao quadrado, teremos: (-0,27) = 0,0729, (0,03) = 0,0009, (0,03) = 0,0009, (-0,12) = 0,0144 e (0,34) = 0,1156.
    • Os quadrados das diferenças são: 0,0729, 0,0009, 0,0009, 0,0144 e 0,1156.
    • Verifique os resultados dos seus cálculos antes de passar para o próximo passo.
  4. Some os quadrados. Faça o somatório dos quadrados calculados no passo anterior.
    • Na nossa amostragem, os quadrados das diferenças são os seguintes valores: 0,0729, 0,0009, 0,0009, 0,0144 e 0,1156.
    • 0,0729 + 0,0009 + 0,0009 + 0,0144 + 0,1156 = 0,2047.
    • No nosso exemplo, o somatório dos quadrados será igual a 0,2047.
    • Antes de continuar, verifique os seus cálculos para ter certeza de que o resultado da soma está correto.
  5. Divida a soma dos quadrados por (n-1). Lembre-se: n é o tamanho da sua amostragem (ou seja, a quantidade de valores da mostra). O resultado dessa divisão será o valor da variância.
    • Para a amostra de alturas de palmeiras (2,13, 2,43, 2,43, 2,28 e 2,74 metros), o somatório dos quadrados é igual a 0,2047.
    • Nossa amostra possui 5 valores. Portanto, n = 5.
    • n - 1 = 4
    • Sabemos que a soma dos quadrados é 0,2047. Para calcular a variância, determine o resultado da seguinte divisão: 0,2047/4.
    • 2,2/4 = 0,051.
    • A variância da amostragem de alturas de palmeiras vale 0,55.

Calcule o desvio padrão

  1. Calcule o valor da variância. Você precisará desse valor para encontrar o desvio padrão da sua amostragem.
    • A variância indica a dispersão ou espalhamento dos dados da amostragem em relação à média aritmética.
    • O desvio padrão é o valor que representa o quão próximos ou distantes estão os valores da sua amostragem.
    • No nosso exemplo, a variância vale 0,051.
  2. Tire a raiz quadrada da variância. O resultado desse cálculo será o valor do desvio padrão.
    • No nosso exemplo, ela é igual a 0,051.
    • √0,051 = 0,22583179581. Esse valor normalmente terá uma grande quantidade de casas decimais. Para facilitar, você pode arredondá-lo para duas ou três casas decimais. No caso desse exemplo, podemos arredondar o resultado para 0,225.
    • Usando o valor arredondado, o desvio padrão da nossa amostragem será 0,225.
  3. Calcule a média aritmética, a variância e o desvio padrão outra vez. Isso permitirá que você se certifique de que o valor do desvio padrão está correto.
    • Anote todos os passos seguidos para fazer os seus cálculos.
    • Isso permitirá que você encontre qualquer erro que apareça (caso tenha feito algum).
    • Se você encontrar alguma resposta diferente para a média aritmética, a variância ou o desvio padrão, repita os seus cálculos observando todo o processo com bastante atenção.

Calcule o valor Z

  1. Utilize a seguinte equação para encontrar o valor Z: Z = (X - μ)/σ. Essa fórmula permite calcular um valor Z para qualquer dado da sua amostra.
    • O valor Z é a medida de quantos desvios padrão um valor de amostra está acima ou abaixo da média aritmética.
    • Na fórmula, "X" representa o valor da amostra que você deseja examinar. Por exemplo, se quisermos saber a quantos desvios padrão 2,28 está da média da nossa amostra das alturas de palmeiras, iremos substituir o "X" da equação pelo valor 2,28.
    • Na fórmula, "μ" representa o valor da média aritmética. No exemplo das alturas de palmeiras, a média vale 2,4.
    • Na fórmula, "σ" representa o valor do desvio padrão. No exemplo das palmeiras, o desvio padrão é igual a 0,225.
  2. Comece subtraindo a média do valor de amostra que você deseja examinar. Este é o primeiro passo para calcular o valor Z.
    • Por exemplo, na nossa amostragem de alturas de palmeiras, queremos encontrar a quantos desvios padrões 2,28 está da média 2,4.
    • Assim, devemos fazer o seguinte cálculo: 2,28 - 2,4.
    • 2,28 - 2,4 = -0,12.
    • Verifique se o valor da média e o resultado da subtração estão corretos antes de continuar.
  3. Divida o resultado da subtração pelo valor do desvio padrão. O resultado dessa divisão será o valor Z.
    • No exemplo das alturas de palmeiras, estamos procurando o valor Z para o valor de amostra 2,28.
    • Já subtraímos a média 2,4 de 2,28 e obtemos o valor -0,12.
    • Sabemos que o valor do desvio padrão da nossa amostra de alturas de palmeiras é igual a 0,225.
    • - 0,12 / 0,225 = - 0,53.
    • Portanto, o valor Z nesse caso é igual a - 0,53.
    • Esse valor Z indica que 2,28 está - 0,53 desvios padrão abaixo da média na nossa amostragem de alturas de palmeira.
    • Os valores Z podem ser tanto números positivos quanto negativos.
    • Um valor Z negativo indica que o valor de amostra é menor que a média. Um valor Z positivo indica que o valor de amostra em questão é maior do que a média.
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