Как делить многочлены

Многочлены можно разделить так же, как числа: либо разложением на множители, либо делением в столбик. Используемый метод зависит от вида многочлена и вида делителя.

Часть 1 из 3: Определение метода

  1. Определите вид делителя. Делитель (многочлен, на который вы делите) сравнивается с делимым (многочленом, который вы делите) и определяется подходящий метод деления.
    • Если делитель одночлен, представляющий собой коэффициент при переменной или свободный член (коэффициент без переменной), вероятно, вы сможете разложить делимое на множители и сократить один из множителей и делитель. Смотрите раздел «Разложение делимого на множители».
    • Если делитель двучлен (многочлен с двумя членами), вероятно, вы сможете разложить делимое на множители и сократить один из множителей и делитель.
    • Если делитель трехчлен (многочлен с тремя членами), вероятно, вы сможете разложить на множители как делимое, так и делитель, а затем сократить общий множитель или поделить в столбик.
    • Если делитель многочлен с более чем тремя членами, скорее всего, придется использовать деление в столбик. Смотрите раздел «Деление в столбик».
  2. Определите вид делимого. Если вид делителя не подсказывает вам метод деления, определите вид делимого.
    • Если делимое содержит три или менее члена, вероятно, вы сможете разложить делимое на множители и сократить один из множителей и делитель.
    • Если делимое содержит более трех членов, скорее всего, придется использовать деление в столбик.

Часть 2 из 3: Разложение делимого на множители

  1. Определите общий множитель у делителя и делимого. Если он существует, вы можете вынести его за скобки и сократить.
    • Пример. При делении 3x – 9 на 3 в двучлене вынесите 3 за скобки: 3(х - 3). Затем сократите вынесенную за скобки 3 и делитель (3). Ответ: х - 3.
    • Пример: При делении 24x - 18x на 6x в двучлене вынесите 6х за скоби: 6x(4x - 3). Затем сократите вынесенные за скобки 6х и делитель (6х). Ответ: 4x - 3.
  2. Определите, может ли делимое быть разложено на множители по формулам сокращенного умножения. Если один из множителей равен делителю, то вы можете их сократить. Вот некоторые формулы сокращенного умножения:
    • Разность квадратов. Это двучлен вида ax - b, где значения a и b являются полными квадратами (то есть из этих чисел можно извлечь квадратный корень). Этот двучлен можно разложить на два множителя: (ax + b)(ax – b).
    • Полный квадрат. Это трехчлен вида ax + 2abx + b, который можно разложить на два множителя: (ax + b)(ax + b) или записать как (ax + b). Если перед вторым членом стоит минус, этот трехчлен раскладывается как: (ax – b)(ax – b).
    • Сумма или разность кубов. Это двучлен вида ax + b или ax - b, где значения a и b являются полными кубами (то есть из этих чисел можно извлечь кубический корень). Сумма кубов раскладывается на: (ax + b)(ax - abx + b). Разность кубов раскладывается на: (ax - b)(ax + abx + b).
  3. Используйте метод проб и ошибок для разложения делимого на множители. Если вы видите, что к делимому нельзя применить формулу сокращенного умножения, попробуйте разложить делимое другими способами. Для начала найдите множители свободного члена, учтя коэффициента второго члена делимого.
    • Пример. Если делимое имеет вид x - 3x – 10, найдите множители свободного члена 10, учтя коэффициент 3.
    • Число 10 может быть разбито на следующие множители: 1 и 10 или 2 и 5. Так как перед 10 стоит минус, перед одним из множителей числа 10 тоже должен стоять минус.
    • Коэффициент 3 равен 5-2, поэтому выбираем множители 5 и 2. Так как перед 3 стоит минус, перед 5 должен тоже стоять минус. Таким образом, делимое раскладывается на множители: (х - 5)(х + 2). Если делитель равен одному из этих двух множителей, то их можно сократить.

Часть 3 из 3: Деление в столбик

  1. Запишите делимое и делитель так, как вы записываете обычные числа при их делении в столбик.
    • Пример. Разделим x + 11 x + 10 на x +1.
  2. Разделите первый член делимого на первый член делителя. Запишите результат.
    • Пример. Разделите x (первый член делимого) на х (первый член делителя). Запишите результат: х.
  3. Умножьте результат из предыдущего шага (х) на делитель. Запишите результат умножения соответственно под первым и вторым членами делимого.
    • Пример. Умножьте х на х + 1 и получите x + x. Запишите этот двучлен соответственно под первым и вторым членами делимого.
  4. Вычтите результат (из предыдущего шага) из делимого. В первую очередь из делимого вычтите результат умножения (полученный в предыдущем шаге), а затем снесите свободный член.
    • Поменяйте знаки у двучлена x + x и запишите его как - x - x. Вычитая этот двучлен из первых двух членов делимого, получите 10x. После сноса свободного члена делимого вы получите двучлен 10х + 10 (промежуточный двучлен).
  5. Повторите предыдущие три шага с промежуточным двучленом (полученным в предыдущем шаге). Вы разделите его первый член на первый член делителя и запишите результат рядом с результатом первого деления. Затем умножьте этот результат второго деления на делитель и вычтите результат умножения из промежуточного двучлена.
    • Так как 10х / х = 10, запишите «+10» после результата первого делениях (х).
    • Умножив 10 на х +1, получите двучлен 10х + 10. Поменяйте знаки этого двучлена (- 10x - 10) и соответственно запишите его под промежуточным двучленом.
    • Вычтите двучлен, полученный в предыдущем шаге, из промежуточного двучлена и получите 0. Таким образом, x + 11 x + 10 делить на x +1 равно x + 10 (возможно, вы получите тот же результат, разложив трехчлен на множители, но этот трехчлен был выбран в качестве простейшего примера).

Советы

  • Если при делении в столбик у вас получился остаток, вы можете записать его в виде дробного члена, у которого в числителе находится остаток, а в знаменателе - делитель. Например, если вместо x + 11 x + 10 вам дано x + 11 x + 12, то при делении этого трехчлена на х+1 вы получите остаток 2. Поэтому запишите ответ (частное) в виде: х + 10 + (2/(х +1)).
  • Если в данном многочлене нет члена с переменной соответствующего порядка, например, в 3x+9x+18 нет члена с переменной первого порядка, вы можете добавить недостающий член с коэффициентом 0 (в нашем примере это 0x), чтобы правильно расположить члены во время деления. Этот ход не изменит значения данного многочлена.

Предупреждения

  • При делении в столбик правильно записывайте члены (члены одного порядка записывайте друг под другом), чтобы избежать ошибок при вычитании членов.
  • При написании результата деления, который включает дробный член, перед дробным членом всегда ставьте знак плюс.
Информация
Посетители, находящиеся в группе Guests, не могут оставлять комментарии к данной публикации.