Как делить многочлены

Определите вид делителя. Делитель (многочлен, на который вы делите) сравнивается с делимым (многочленом, который вы делите) и определяется подходящий метод деления.

• Если делитель одночлен, представляющий собой коэффициент при переменной или свободный член (коэффициент без переменной), вероятно, вы сможете разложить делимое на множители и сократить один из множителей и делитель. Смотрите раздел «Разложение делимого на множители».
• Если делитель двучлен (многочлен с двумя членами), вероятно, вы сможете разложить делимое на множители и сократить один из множителей и делитель.
• Если делитель трехчлен (многочлен с тремя членами), вероятно, вы сможете разложить на множители как делимое, так и делитель, а затем сократить общий множитель или поделить в столбик.
• Если делитель многочлен с более чем тремя членами, скорее всего, придется использовать деление в столбик. Смотрите раздел «Деление в столбик».

Определите вид делимого. Если вид делителя не подсказывает вам метод деления, определите вид делимого.

• Если делимое содержит три или менее члена, вероятно, вы сможете разложить делимое на множители и сократить один из множителей и делитель.
• Если делимое содержит более трех членов, скорее всего, придется использовать деление в столбик.

Определите общий множитель у делителя и делимого. Если он существует, вы можете вынести его за скобки и сократить.

• Пример. При делении 3x – 9 на 3 в двучлене вынесите 3 за скобки: 3(х - 3). Затем сократите вынесенную за скобки 3 и делитель (3). Ответ: х - 3.
• Пример: При делении 24x - 18x на 6x в двучлене вынесите 6х за скоби: 6x(4x - 3). Затем сократите вынесенные за скобки 6х и делитель (6х). Ответ: 4x - 3.

Определите, может ли делимое быть разложено на множители по формулам сокращенного умножения. Если один из множителей равен делителю, то вы можете их сократить. Вот некоторые формулы сокращенного умножения:

• Разность квадратов. Это двучлен вида ax - b, где значения a и b являются полными квадратами (то есть из этих чисел можно извлечь квадратный корень). Этот двучлен можно разложить на два множителя: (ax + b)(ax – b).
• Полный квадрат. Это трехчлен вида ax + 2abx + b, который можно разложить на два множителя: (ax + b)(ax + b) или записать как (ax + b). Если перед вторым членом стоит минус, этот трехчлен раскладывается как: (ax – b)(ax – b).
• Сумма или разность кубов. Это двучлен вида ax + b или ax - b, где значения a и b являются полными кубами (то есть из этих чисел можно извлечь кубический корень). Сумма кубов раскладывается на: (ax + b)(ax - abx + b). Разность кубов раскладывается на: (ax - b)(ax + abx + b).

Используйте метод проб и ошибок для разложения делимого на множители. Если вы видите, что к делимому нельзя применить формулу сокращенного умножения, попробуйте разложить делимое другими способами. Для начала найдите множители свободного члена, учтя коэффициента второго члена делимого.

• Пример. Если делимое имеет вид x - 3x – 10, найдите множители свободного члена 10, учтя коэффициент 3.
• Число 10 может быть разбито на следующие множители: 1 и 10 или 2 и 5. Так как перед 10 стоит минус, перед одним из множителей числа 10 тоже должен стоять минус.
• Коэффициент 3 равен 5-2, поэтому выбираем множители 5 и 2. Так как перед 3 стоит минус, перед 5 должен тоже стоять минус. Таким образом, делимое раскладывается на множители: (х - 5)(х + 2). Если делитель равен одному из этих двух множителей, то их можно сократить.

Запишите делимое и делитель так, как вы записываете обычные числа при их делении в столбик.

• Пример. Разделим x + 11 x + 10 на x +1.

Разделите первый член делимого на первый член делителя. Запишите результат.

• Пример. Разделите x (первый член делимого) на х (первый член делителя). Запишите результат: х.

Умножьте результат из предыдущего шага (х) на делитель. Запишите результат умножения соответственно под первым и вторым членами делимого.

• Пример. Умножьте х на х + 1 и получите x + x. Запишите этот двучлен соответственно под первым и вторым членами делимого.

Вычтите результат (из предыдущего шага) из делимого. В первую очередь из делимого вычтите результат умножения (полученный в предыдущем шаге), а затем снесите свободный член.

• Поменяйте знаки у двучлена x + x и запишите его как - x - x. Вычитая этот двучлен из первых двух членов делимого, получите 10x. После сноса свободного члена делимого вы получите двучлен 10х + 10 (промежуточный двучлен).

Повторите предыдущие три шага с промежуточным двучленом (полученным в предыдущем шаге). Вы разделите его первый член на первый член делителя и запишите результат рядом с результатом первого деления. Затем умножьте этот результат второго деления на делитель и вычтите результат умножения из промежуточного двучлена.

• Так как 10х / х = 10, запишите «+10» после результата первого делениях (х).
• Умножив 10 на х +1, получите двучлен 10х + 10. Поменяйте знаки этого двучлена (- 10x - 10) и соответственно запишите его под промежуточным двучленом.
• Вычтите двучлен, полученный в предыдущем шаге, из промежуточного двучлена и получите 0. Таким образом, x + 11 x + 10 делить на x +1 равно x + 10 (возможно, вы получите тот же результат, разложив трехчлен на множители, но этот трехчлен был выбран в качестве простейшего примера).