Как решить матрицу 2x3

Терминология. Системы линейных уравнений состоят из различных компонентов. Переменная обозначается буквенным символом (обычно x или y) и означает число, которое вы еще не знаете и которое нужно найти. Постоянной называется определенное число, которое не меняет свое значение. Коэффициентом называется число, стоящее перед переменной, то есть то число, на которое умножается переменная.

• Например, для линейного уравнения 2x + 4y = 8, x и y являются переменными, 8 является постоянной, а числа 2 и 4 - коэффициентами.

Форма для системы линейных уравнений. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с двумя переменными может быть записана следующим образом: ax + by = p, cx + dy = q. Любые постоянные (p, q) могут быть равны нулю, но каждое из уравнений должно содержать хотя бы одну переменную (x, y).

Матричные выражения. Любую СЛАУ можно записать в матричной форме, а затем, используя алгебраические свойства матриц, решить ее. При записи системы уравнений в форме матрицы A представляет собой коэффициенты матрицы, C представляет постоянные матрицы и X обозначается неизвестная матрица.

• Например, представленная выше СЛАУ может быть переписана в следующей матричной форме: A x X = C.

Расширенная матрица. Расширенная матрица получается путем переноса матрицы свободных членов (постоянных) в левую часть. Если у вас есть две матрицы, A и C, то расширенная матрица будет выглядеть следующим образом:

• Например, для следующей системы линейных уравнений: 2x + 4y = 8 x + y = 2 Расширенная матрица будет иметь размерность 2x3 и выглядеть следующим образом:

Элементарные операции. Вы можете производить определенные операции над матрицей, получая при этом матрицу, эквивалентную оригинальной. Такие операции называются элементарными. Например, чтобы решить матрицу 2x3 нужно проводить операции со строками, чтобы привести матрицу к треугольному виду. Такими операциями могут быть:

• перестановка двух строк.
• умножение строки на число, отличное от нуля.
• умножение строки и прибавление ее к другой.

Умножение второй строки на отличное от нуля число. Если вы хотите получить ноль во второй строке, вы можете умножить строку так, чтобы это стало возможным.

• Например, если у вас матрица следующего вида: Вы можете сохранить первую строку и использовать ее для получения нуля во второй строке. Для этого необходимо сначала умножить вторую строку на 2:

Умножьте еще раз. Чтобы получить нуль для первой строки, вам может понадобиться умножить еще раз, используя аналогичные манипуляции.

• В приведенном примере необходимо умножить вторую строку на -1: После умножения матрица будет выглядеть следующим образом:

Прибавьте первую строку ко второй. Сложите строки, чтобы получить ноль на месте элемента первого столбца и второй строки.

• В нашем примере сложите обе строки, чтобы получилось следующее:

Запишите новую систему линейных уравнений для треугольной матрицы. После того, как вы получили треугольную матрицу, вы можете снова перейти к СЛАУ. Первый столбец матрицы соответствует неизвестной переменной x, а второй соответствует неизвестной переменной y. Третий столбец соответствует свободному члену уравнения.

• Для нашего примера, новая система линейных уравнений примет вид:

Решите уравнение для одной из переменных. В новой СЛАУ определите, какую переменную проще всего найти и решите уравнение.

• В нашем примере, удобнее решать с конца, то есть от последнего уравнения к первому, двигаясь снизу вверх. Из второго уравнения мы легко можем найти решение для y, поскольку мы избавились от x, так, y = 2.

Найдите вторую неизвестную методом подстановки. После того, как вы нашли одну из переменных, вы можете подставить ее во второе уравнение, чтобы найти вторую переменную.

• В нашем примере просто замените y на 2 в первом уравнении, чтобы найти неизвестную x: