Как нарисовать корневой годограф для системы

Система с обратной связью становится стабильной, когда корни уравнения, описывающего эту систему, подчиняются определенной схеме. Иначе, система становится нестабильной. Примером такой нестабильной системы является микрофон, издающий пронзительный звук. Часть звука из динамика возвращается в микрофон и усиливается усилителем, а затем идет в динамики и снова попадает в микрофон и снова и снова идет по кругу, пока усилители не перейдут в режим насыщения и не начнут производить резкий высокочастотный шум. Обратная связь иногда сохраняет систему на самой грани нестабильности и приводит к тому, что система начинает колебаться. Этот эффект может быть полезен в электронике и других областях где необходимо устойчивое колебание; в устройствах таких как часы. Но если границы были рассчитаны не точно, небольшое изменение может разрушить систему. Этот эффект разрушил некоторые мосты, так как они начали колебаться и эти колебания вышли из-под контроля, когда люди, машины или поезда проезжали по этим мостам. Недавно построенный Лондонский мост, открытый для пешеходов на тысячелетие, был близок к такому разрушению в день своего открытия, но поскольку он все еще находился под пристальным наблюдением конструкторов, его закрыли, и катастрофа была отвращена. Корневой годограф помогает инженерам получить детальное описание их системы, чтобы достичь критерия стабильности. И хотя все академии переполнены программным обеспечением для получения изображения ”корневого годографа”, он все еще очень привлекателен для всех инженеров - исследователей, которые хотят понимать этот метод, и как строится это изображение.

Метод 1 из 2: Предварительные замечания

  1. Запомните, что у простейшей системы есть вход и выход. Между ними находится система. В систему поступает входящий сигнал, затем он преобразовывается и выходит в виде желаемого исходящего сигнала. Система построена таким образом, чтобы создать желаемое преобразование для получения исходящего сигнала.
  2. Изобразим систему в виде коробки. Входящий сигнал входит в нее в виде стрелки и исходящий исходит из нее в виде стрелки.
    • Действие, которое система совершает над входящим сигналом, называется функцией системы.
    • Прежде чем совершить это, система всегда совершает над входящим сигналом одно из трех действий,
      • Этот корневой годограф называется корневым годографом 180°.
      • Простое ослабление этого входа. В таком случае мы говорим, что коэффициент усиления меньше единицы (0<K<1).
      • Просто сохранить его величину. В этом случае мы говорим, что коэффициент усиления равен единице (K=1).
      • Просто увеличить его. В таком случае мы говорим, что коэффициент усиления больше единицы (K>1).
    • Прежде чем представить эту функцию, система может инвертировать вход, перевернуть его и после этого она совершает над ним одно из трех действий,
      • Этот корневой годограф называется корневым годографом 0°.
      • Простое ослабление этого входа. В таком случае мы говорим, что коэффициент усиления больше минус одного (-1<K<0).
      • Просто сохранить его величину. В этом случае мы говорим, что коэффициент усиления равен минус один (K=-1).
      • Просто увеличить его. В таком случае мы говорим, что коэффициент усиления меньше минус одного (K>1).
    • K называется коэффициентом усиления системы.
    • В системе с обратной связью есть путь от выхода к входу, и часть выхода возвращается и присоединяется к входу.
  3. Запомните, что система без обратной связи в инженерном представлении, такая как показано на иллюстрации. Отношение выхода ко входу описано как умножение входа X(‘‘s’‘) на системную функцию G(‘‘s’‘) в результате чего получаем выход Y(‘‘s’‘). Так ‘‘Y(‘‘s’‘)=G(‘‘s’‘)X(‘‘s’‘).’‘
  4. Работаем с последним результатом, чтобы получить (смотри рисунок выше)
  5. Затем изобразите в том же представлении следующее. Учтите, пожалуйста, что внутри креста (Х) плюс (+) обозначает вход, а минус (-) обозначает обратную связь. Выход приходит и через путь обратной связи идет, чтобы изменить вход. Когда выход Y(‘‘s’‘) выходит из обратной связи он становиться в H(‘‘s’‘) больше (а именно Y(‘‘s’‘) H(‘‘s’‘)) и вычитается от входа X(‘‘s’‘). Следовательно, фактически X(‘‘s’‘) –Y(‘‘s’‘)H(‘‘s’‘) входит в систему. X(‘‘s’‘) –Y(‘‘s’‘)H(‘‘s’‘) входит в систему умножается на функцию системы и выходит как (X(‘‘s’‘) –Y(‘‘s’‘)H(‘‘s’‘))G(‘‘s’‘). Отсюда Y(‘‘s’‘) фактически, ‘‘Y(‘‘s’‘) = (X(‘‘s’‘) –Y(‘‘s’‘)H(‘‘s’‘))G(‘‘s’‘)’‘
  6. Работаем с последним результатом, чтобы получить (смотри рисунок выше)
  7. Обратите внимание, что отношение Y(‘‘s’‘) / X(‘‘s’‘), чем бы оно ни было, называется передаточной функцией.
    • Передаточная функция, такая как в уравнении 2, известна как передаточная функция замкнутой системы.
    • Произведение G(‘‘s’‘)H(‘‘s’‘), в уравнении 2, называется передаточная функция разомкнутой системы.
  8. Помните, что вы можете воспользоваться тождеством 1 + H(s)G(s) = 0. Это тождество называется характеристическое уравнение’‘ системы.
  9. Помните. Все функции, о которых шла речь, даже каждая из X(‘‘s’‘) или Y(‘‘s’‘), - комплексные рациональные функции комплексного переменного s.
  10. Помните также, что комплексная рациональная функция – это отношение двух сложных комплексных многочленов. Например, H(‘‘s’‘) = n(‘‘s’‘) / d(‘‘s’‘).
  11. Сравните отношение Y(s) / X(s) в двух системах без обратной связи и с обратной связью, чтобы увидеть, как обратная связь влияет на систему.
  12. Произведите несложные вычисления, чтобы убедиться, что функция обратной связи может быть поглощена входом еще до точки сравнения.
  13. Обратите внимание на простую обратную связь. Часто в петле обратной связи, функция обратной связи – единица; то есть H(s) = 1.
  14. Затем запишите уравнение 2 в виде (смотри изображение выше)
  15. Отделите коэффициент усиления К. Лучше отделить коэффициент усиления системы как независимый блок. Теперь будет правильно сказать, что эта G(s) не та же самая что прежняя G(s), так как коэффициент усиления К был отделен от нее, но она все еще пригодна для использования представления, так как мы имеем блок К и блок G(s) с самого начала.
  16. Теперь запишите уравнение 3 как (смотри изображение выше)
  17. Учтите, что знаменатель определяет стабильность системы. Вам необходимо знать, когда этот знаменатель равен нулю, или приближается к нулю, когда коэффициент усиления системы, К, меняется как параметр. Вам понадобиться проверить 1 + KG(s) = 0. Или G(s) = – 1 / K. Предположим что K > 0, а затем выясним с помощью симметрии, что произойдет, если K < 0. Для полного понимания, необходимо обсудить даже простейший случай, когда К = 0.
  18. Вычислите величину (модуль) и угол (аргумент) функции G(s). Ввиду этого отметим, что |G(s)| = 1 / K and /G(s) = 180°’‘q’‘; где q - нечетное целое число. Символ /___ показывает угол комплексной функции.
  19. Помните, что G(s) – рациональная функция; равная многочлену, разделенному на полиномы с той же переменной ‘‘s’‘. Отсюда,
  20. Обратите внимание, что обычно нелегко найти корни полинома, степень которого больше трех или четырех и записать его в виде выражения, включающего эти корни, как это сделано в уравнении 5. Вот одна трудность в том чтобы нарисовать корневой годограф. Допустим, что такое разложение на множители известно. Таким образом, для многочлена степени n имеем n комплексных корней r i
  21. Начните с простейшей системы. Характеристическое уравнение приобретет вид s + K = 0’‘. Изменяя ‘‘К’‘ от ‘‘0’‘ в сторону увеличения получим изменение ‘‘s’‘ от ‘‘0’‘ до – ∞ в сторону уменьшения.
  22. Помните. В школе вам нужно было определить параметр β, при котором квадратное уравнение x + ‘‘x’‘ + β = 0’‘ имеет два корня равных между собой; или подобные задачи. Это была простейшая задача на корневой годограф с параметром ‘‘β’‘. Вы знали, что вам нужно найти дискриминант и приравнять его к нулю, чтобы решить задачу в согласии с описанными условиями: ‘‘D = 1 - 4β = 0’‘ и, следовательно, ‘‘β = 1 / 4’‘.
  23. Найдите подобный корневой годограф для контрольной системы изображенной здесь в виде петли обратной связи. Вместо дискриминанта, с помощью которого мы исследовали бы типичную функцию; имеем ‘‘1 = К(1/’‘s’‘(‘‘s’‘ + 1) = 0’‘. Преобразовав это уравнение, получим ‘‘‘‘s’‘ + ‘‘s’‘ + K = 0’‘.
  24. Поставьте вопросы касающиеся ‘‘К’‘.
  25. Начните с ‘‘К = 0’‘. Вы получите два корня из области действительных чисел ‘‘s’‘ = 0 и ‘‘s’‘ = - 1, а характеристическое уравнение имеет вид ‘‘s’‘ + ‘‘s’‘ = 0’‘.
  26. Увеличьте К. До тех пор, пока ‘‘К = 1/4’‘, у вас будет два действительных корня равных между собой; s1 = s2 = – 1 / 2.
  27. Увеличьте ‘‘K > 1 / 4’‘. Дискриминант будет отрицательным. У вас будет два мнимых комплексно сопряженных корня. Но действительная величина обоих корней останется той же и будет равна ‘‘-1/2’‘. Дальнейшее увеличение ‘‘К’‘ ни как на нее не повлияет, только мнимая часть будет увеличиваться. Корневой годограф изображен жирными линиями.
    • Для этого квадратного многочлена существует два корня, и они точно сливаются в одну точку на оси действительных чисел, для определенного значения параметра ‘‘К’‘, при котором дискриминант становится равным нулю и корни становятся равными.
    • Часть действительной оси между этими двумя корнями – часть корневого годографа.
    • Эта часть называется ‘‘σ-точкой’‘ или ‘‘точкой ветвления’‘ асимптоты корневого годографа.
    • Вплоть до этого значения ‘‘К’‘ система затухает без отклонений (не вибрирует перед остановкой).
    • При ‘‘К = 1/4’‘ система резко затухает.
    • После этого, увеличение ‘‘К’‘ увеличивает только мнимую часть сопряженных корней.
    • Это делает ветвление корневого годографа перпендикулярным действительной оси.
    • Теоретически эта система затухает по всей оси, но с колебаниями. На практике же увеличение коэффициента усиления может привести к нестабильности системы. Колебания могут стать настолько продолжительными, что это инициирует нежелательные частоты в системе, что в свою очередь выведет систему за пределы ее материальной прочности. Например, маленькие трещины достигают катастрофических отметок или динамическая усталость приводит к ее выработке. Поэтому проектировщики всегда стремятся продумать конструкцию так, чтобы предотвратить неограниченное увеличение ‘‘К’‘.
  28. Понимайте значение происходящего комплексной плоскости. Произвольную точку на комплексной плоскости можно изобразить вектором, который имеет длину и угол связанные с действительной осью.
    • – ‘‘r’‘ – корень ‘‘s’‘ ‘‘+’‘ ‘‘r’‘ ‘‘=0’‘
    • ‘‘s’‘ считается проверочной точкой для оценочной – “r”.
    • Любое значение “s” выше действительной оси называется “действительная прямая” оценочной – “r”.
  29. Примите к сведению, что комплексная плоскость не похожа на действительную прямую.
    • На действительной прямой вы ограничены интервалами. Для вычисления интеграла есть только два конечных числа.
    • На комплексной плоскости вы не можете перемещаться куда угодно. Для контраста, вам потребуется выбрать область и ограничить вычисления. Но даже тогда она будет слишком велика. Вам нужно ограничить ваши вычисления определенной кривой или определенными (обычно простыми) траекториями.
  30. Оцените произвольную проверочную точку “s”1 с учетом корня полинома “s” “+” “2” “= 0”. Это вектор, выходящий из вершины “s”1 в вершину “r”.
  31. Предположим, что у вас есть определенное число действительных корней на действительной прямой. Нужно узнать в какой части действительной прямой находится корневой годограф, когда коэффициент усиления “К” изменяется от нуля до плюс бесконечности.
    • Выберите любую точку на действительной прямой, если количество действительных корней (нулей и полюсов) находящихся справа от этого корня – число нечетное (1, 3, 5, …), тогда эта часть действительной прямой – также принадлежит корневому годографу.
    • В простом накопителе все точки, принадлежащие к отрицательной части действительной прямой, имеют только один корень справой стороны. Следовательно, вся отрицательная часть действительной прямой лежит на корневом годографе.
    • В устройстве управления электроприводом только эти точки действительной прямой между “s” = 0” и “s” = – 1” имеют нечетное количество корней в правой части. Следовательно, только участок между “s” = 0” и “s” = – 1” лежит на корневом годографе.
  32. Запомните, что характеристическая функция для общей петли обратной связи была “1 + G(“s”)H(“s”) = 0”. Отделите коэффициент усиления “К”, где бы он не находился, как отдельный параметр и запишите характеристическое уравнение в виде “1 + KF(“s”) = 0”, где “F(“s”)” рациональная функция; то есть “F(“s”) = N(“s”) / D(“s”)”. Обе функции N(“s”) “и” D(“s”) “многочлены.
    • Корни “N(s)”, то есть, нули “F(“s”)” многочлены степени “m”.
    • Корни “D(s)”, то есть, полюса “F(“s”) многочлены степени “n”.
    • Характеристическая функция для простого накопителя имеет вид “1 + К / “s” = 0”.
      • “F(“s”) = 1 / “s”“.
    • Характеристическая функция для системы контроля двигателя имеет вид 1 + K / s (1 + s) = 0.
      • F(s) = 1 / s (1 + s).
  33. Определите “физически реализуемую” систему. В физически реализуемой системе “m” “<“ “n”. количество нулей строго меньше количества полюсов. То есть, система не возвращается назад или не допускает бесконечных переходов.
  34. Усвойте смысл ветвей. Ветви – это пути, которые создают корни характеристической функции, когда значение коэффициента усиления “К” изменяется от нуля до бесконечности. Каждое значение “К” производит новую характеристическую функцию с разными корнями.
    • Если вы хотите придать “К” новое значение в характеристическом уравнении и решить многочлен, чтобы получить корни, вам необходимо воспользоваться компьютером или графическим методом, таким как корневой годограф, чтобы изобразить решения.

Метод 2 из 2: Рисуем корневой годограф

  1. Изучите основные правила. Корневой годограф – симметричен относительно действительной оси комплексного поля.
  2. Запомните первое и простейшее правило, необходимое для построения корневого годографа. Число ветвей корневого годографа такое же, как и число корней “D(“s”)”; то есть, число полюсов “F(“s”)”.
    • Простой накопитель имеет один полюс. У него одна ветвь.
    • Устройство управления электроприводом имеет два полюса, один в точке ““s” = 0” и другой в точке ““s” = – 1”. У него две ветви.
  3. Перейдем ко второму простейшему правилу. Когда “К” меняется от нуля до бесконечности, ветви корневого годографа будут асимптотически стремиться к бесконечности.
    • Все эти асимптоты пересекаются в точке на действительной прямой.
    • Точка пересечения называется “σ-” точкой.
    • Подсчитайте “σ-” точку из выражения,
    • Сложите все полюса, вычтите из этой суммы сумму всех нулей. Теперь разделите результат на разницу количества полюсов и количества нулей.
      • Сигма точка простого накопителя – это “σ = 0”
      • Сигма точка устройства управления электроприводом – это “σ = (0 – 1) / 2 = - 1 / 2”
    • Не путайте асимптоты с ветвями. Асимптоты сопровождают ветви к бесконечности.
    • Запомните, что ветвь в виде прямой линии является своей собственной асимптотой, если она стремится к бесконечности.
  4. Запомните, что такое ноль в бесконечности. Во всех случаях, когда ““m” < “n”“ значение ““s” →∞“ приводит к тому, что “F(“s”) → 0”. Это и называется ноль в бесконечности.
  5. Преобразовав уравнение 7, вы получите “F(“s”) = – 1 / K”. Это означает, что “К = 0” приводит к тому, что “F(“s”) = ∞”. Но вы знаете, что “F(“s”)” становится бесконечностью в ее собственном полюсе. Поэтому, ветви корневого годографа всегда начинаются с полюсов, где, в то же время, “К” - ноль.
    • Несложно прийти к выводу, что количество ветвей всегда “n”, они берут начало в “n” полюсах “F(“s”)”.
  6. Спросите себя, где ветви заканчиваются (обрываются)? “m” ветвей заканчиваются в “m” нулях. Остается “n” – “m” ветвей уходящих в бесконечность, и рассматриваются как нули в бесконечности.
  7. Примите во внимание третье правило. Оно определяет углы асимптот, которые сопровождают ветви корневого годографа. Они равны “180° / (“n” – “m”)”.
    • Используя симметричность, нарисуйте все асимптоты.
  8. Исследуйте, как ведет себя ветвь, берущая начало в полюсе. Это называется угол “отклонения” ветви от полюса. Используйте это соотношение. Давайте рассмотрим значение каждого фактора,
    • “J”: индекс исследуемого полюса. Для этого конкретного полюса подсчитайте угол отклонения.
    • “φ”J: угол отклонения от полюса “J”.
    • “p”J: комплексное значение исследуемого полюса.
    • “i”: последовательная подстановка множества нулей, начиная с первого нуля (“i” = 1) до “m” – того нуля (“i” = “m”).
    • “p”J – “z”i : это определение “p”J из zi.
      • “k”: последовательная подстановка множества полюсов начиная с первого полюса (“k” = 1) до “n” – того нуля (“k” = “n”).
    • “k” = “J” очевидно запрещено использовать. Но не равно, не имеет смысла; это результат “p”J – “p”J = 0; не используется.
    • “p”J – “p”k : это вычисление “p”J на основании pk.
    • “arg” : показывает, что вы вычисляете наименьший угол вектора внутри скобок “[ ... ]“ образованный с действительной осью.
    • “q”: это нечетное целое число. В основном достаточно принять “q” = 180°.
  9. Поймите значение предыдущего уравнения. Вы хотите узнать угол отклонения от определенного полюса, затем, .
    • определите угол каждого нуля, вычислив его по этому полюсу; сложите их вместе.
    • Определите угол каждого полюса, вычислив его по этому полюсу; сложите их вместе.
    • Вычтите от каждого два.
    • К результату прибавьте 180° (иногда вам придется прибавить – 180° или даже 540° или – 540°).
  10. Исследуйте как ветви двигаются по направлению к нулю. Это угол “прибытия” ветви в ноль. Используйте это уравнение чтобы подсчитать его. Давайте узнаем, что означает каждый фактор,
    • “J”: индекс исследуемого нуля. Для этого конкретного нуля подсчитайте угол отклонения.
    • “ɸ”J угол прибытия в ноль “J”.
    • “z” J : комплексная величина исследуемого нуля.
    • “k” : последовательная подстановка множества полюсов начиная с первого полюса (“k” = 1) до “n” - того полюса (“k” = “n”).
    • “z”J – “p”k : это вычисление “z”J на основании “p”k.
    • “i”: последовательная подстановка множества нулей начиная с первого нуля (“i” = 1)до “m” - того нуля (“i” = “m”).
      • “i” = “J” очевидно запрещено использовать. Но не равно, не имеет смысла; это результат “z”J – “z”J = 0 не используется.
    • “z”J – “z”i : это вычисление “z”J на основании “z”i.
    • “arg” : показывает, что вы вычисляете наименьший угол вектора внутри скобок “[ ... ]“ образованный с действительной осью.
    • “q”: это нечетное целое число. В основном достаточно принять “q” = 180°.
  11. Усвойте значение предыдущего уравнения. Вы хотите узнать угол отклонения от определенного нуля, затем,
    • определите угол каждого полюса, вычислив его по этому нулю; сложите их вместе.
    • Определите угол каждого нуля, вычислив его по этому нулю; сложите их вместе.
    • Вычтите от каждого два.
    • К результату прибавьте 180° (иногда вам придется прибавить – 180° или даже 540° или – 540°).
  12. Узнайте про сиротские ветви. Ветви покинувшие полюса и не прибывшие в ноль, стремятся к бесконечности, с двух сторон сопровождаемые асимптотами.
  13. Празднуйте – вы сделали это. Осталось обдумать пару пунктов, чтобы рисунок выглядел более реалистичным. Мы построили его подсчитав на основании контрольных точек, используя основные вычисления (уйдут дни на то чтобы освоить трудную сторону правил). Лучшая и наиболее волнующая точка, которую следует найти, это точка “пересечения” годографа с мнимой осью. Это те точки, которые вызывают колебания в системе, и затем в правой части комплексной плоскости система становится незатухающей и нестабильной.
Информация
Посетители, находящиеся в группе Guests, не могут оставлять комментарии к данной публикации.