Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten lösen

Опубликовал Admin
22-10-2016, 01:15
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Ein Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr Gleichungen, die dieselben Unbekannten enthalten und deshalb eine gemeinsame Lösung haben. Bei linearen Gleichungen, die Geraden beschreiben, ist die gemeinsame Lösung eines Systems der Punkt, an dem sich die Geraden schneiden. Matrizen können hilfreich sein beim Lösen von linearen Systemen.

Teil 1 von 2: Grundlagen

  1. Begriffe. Lineare Gleichungen haben verschiedene Komponenten. Die Variable ist das Symbol (normalerweise ein Buchstabe wie x oder y) für eine Zahl, die du noch nicht kennst. Eine Konstante ist eine Zahl, die nicht verändert wird. Der Koeffizient ist eine Zahl vor einer Variablen, die mit der Variablen multipliziert wird.
    • Zum Beispiel sind in der linearen Gleichung 2x + 4y = 8 x und y die Variablen. Die Konstante ist 8. Die Zahlen 2 und 4 sind Koeffizienten.
  2. Die Form eines Gleichungssystems. Ein Gleichungssystem mit zwei Variablen kann folgendermaßen geschrieben werden: ax + by = p cx + dy = q Jede der Konstanten (p, q) und jeder Koeffizient (a, b, c, d) darf Null sein, allerdings dürfen in einer Zeile nicht alle Koeffizienten Null sein.
  3. Matrix-Gleichungen. Wenn du ein lineares System hast, kannst du es mit Hilfe einer Matrix anders hinschreiben und dann die algebraischen Eigenschaften dieser Matrix benutzen, um es zu lösen. Um ein lineares System anders zu schreiben, kannst du A benutzen, um die Koeffizienten-Matrix, C um die Konstanten-Matrix und X um die Unbekannten-Matrix darzustellen.
    • Obiges lineares System kann zum Beispiel als Matrix-Gleichung folgendermaßen geschrieben werden: A * X = C.
  4. Erweiterte Matrizen. Eine erweiterte Matrix ist eine Matrix, die man erhält, wenn man an eine Matrix weitere Spalten anhängt. Wenn du zwei Matrizen A und C hast, kannst du eine erweiterte Matrix erstellen, indem du beide aneinander hängst.
    • Betrachte zum Beispiel das folgende lineare System: 2x + 4y = 8 x + y = 2 Die erweiterte Matrix dazu wäre die 2 x 3-Matrix im Bild.

Teil 2 von 2: Umformen der erweiterten Matrix, um das Gleichungssystem zu lösen

  1. Elementare Operationen. Du kannst bestimmte Umformungen an der Matrix vornehmen, so dass sie äquivalent zu der ursprünglichen Matrix bleibt. Sie werden elementare Operationen genannt. Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen, kannst du elementare Zeilenoperationen benutzen, um die Matrix auf Dreiecksform zu bringen. Elementare Operationen sind:
    • Zwei Zeilen vertauschen.
    • Eine Zeile mit einer Zahl multiplizieren, die nicht gleich Null ist.
    • Eine Zeile mit einer Zahl multiplizieren und dann eine andere Zeile dazu addieren.
  2. Multipliziere die zweite Zeile mit einer Zahl ungleich Null. Wir möchten gerne eine Null in der zweiten Zeile haben, deshalb multiplizieren wir die Zeile mit einer Zahl, so dass, wenn wir die erste Zeile dazu addieren, dann mindestens eine Null entsteht.
    • Wenn wir zum Beispiel obige Matrix haben: Wir verändern die erste Zeile nicht und wollen mindestens eine Null in der zweiten Zeile erzeugen. Um das zu erreichen, multiplizieren wir die zweite Zeile mit 2.
  3. Multipliziere nochmals.
    • In obigem Beispiel multiplizieren wir die zweite Zeile mit -1. Die neue Matrix siehst du in dem Bild.
  4. Addiere die erste Zeile zur zweiten. Addiere als nächstes die erste Zeile zur zweiten, damit wir eine Null an der ersten Stelle in der zweiten Zeile haben.
    • Im Bild siehst du das Ergebnis.
  5. Schreibe das neue lineare System für die Dreiecksmatrix auf. Wir haben nun eine Dreiecksmatrix. Wir können es wieder als Gleichungssystem schreiben. Die erste Spalte gehört zur Unbekannten x und die zweite Spalte zur Unbekannten y. Die dritte Spalte gehört zur rechten Seite des Gleichungssystems.
    • In obigem Beispiel sieht das neue System wie im Bild gezeigt aus.
  6. Löse nach einer der Variablen auf. Stelle fest, nach welcher Variablen du leicht auflösen kannst in deinem neuen System.
    • In obigem Beispiel ist es einfach, das System “rückwärts” aufzulösen – man fängt bei der letzten Gleichung an und geht bis zur ersten, wenn man nach den Unbekannten auflöst. Die zweite Gleichung gibt uns leicht eine Lösung für y; da x entfernt wurde, kannst du sehen, dass y = 2.
  7. Substituiere, um nach der zweiten Variablen aufzulösen. Sobald du eine der Variablen bestimmt hast, kannst du ihren Wert in die andere Gleichung einsetzen, um nach der anderen Variablen aufzulösen.
    • Ersetze in obigem Beispiel in der ersten Gleichung y durch 2, um nach x aufzulösen (wie im Bild gezeigt).

Tipps

  • Die Elemente einer Matrix werden auch “Skalare” genannt.
  • Wenn du ein solches Gleichungssystem lösen willst, dann darfst du in der Matrix nur elementare Zeilenoperationen verwenden. Du darfst keine Spaltenoperationen verwenden.
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