Comment calculer la variable centrée réduite

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La variable centrée réduite ou z-score vous permet de dire à combien d'écarts-types, en dessus ou en dessous de la moyenne, se situe un échantillon d'une série de données . Pour trouver la variable centrée réduite d'un élément de l'échantillon, vous aurez besoin de trouver la moyenne, la variance et l'écart-type de votre échantillon. Ensuite, vous devrez faire la différence entre la valeur de cet élément et la moyenne de l'échantillon, puis diviser ce résultat par l'écart-type du même échantillon. Si vous suivez les étapes suivantes, vous verrez que calculer la variable centrée réduite n'est pas si difficile qu'il y paraît. Certes, cela fait beaucoup de calculs, mais ils sont simples.

Calculer la moyenne

  1. Observez de près votre échantillon. Pour calculer une moyenne arithmétique concernant un échantillon, il faut connaître un certain nombre d'informations sur les éléments le composant  .
    • Sachez combien votre échantillon contient d'éléments. Admettons que nous ayons à étudier un échantillon de 5 palmiers.
    • Sachez ce que représentent les nombres de la série. On dira ici qu'il s'agit de la hauteur des palmiers. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/75\/Calculate-Z-Scores-Step-1Bullet2.jpg\/v4-460px-Calculate-Z-Scores-Step-1Bullet2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/75\/Calculate-Z-Scores-Step-1Bullet2.jpg\/v4-728px-Calculate-Z-Scores-Step-1Bullet2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    • Repérez rapidement l'amplitude de ces valeurs. Sont-elles concentrées entre deux valeurs extrêmes rapprochées ou, au contraire, étalées entre deux valeurs extrêmes éloignées ? {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/40\/Calculate-Z-Scores-Step-1Bullet3.jpg\/v4-460px-Calculate-Z-Scores-Step-1Bullet3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/40\/Calculate-Z-Scores-Step-1Bullet3.jpg\/v4-728px-Calculate-Z-Scores-Step-1Bullet3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
  2. Groupez les valeurs que vous voulez étudier. Pour pouvoir vous lancer dans les calculs, il faut en premier lieu connaître toutes les valeurs des éléments de votre échantillon .
    • La moyenne exprime la grandeur qu'aurait chacun des éléments de votre échantillon s'ils étaient tous identiques.
    • Pour le calcul de la moyenne, rien de plus simple : vous additionnez toutes les valeurs de votre échantillon, somme que vous divisez ensuite par la taille de l'échantillon.
    • En mathématiques, on a coutume d'appeler n la taille de l'échantillon. Dans le cas choisi, on a 5 palmiers donc n = 5.
  3. Additionnez toutes les hauteurs des palmiers de l'échantillon. C'est la première étape avant le calcul de la moyenne arithmétique .
    • Prenons un échantillon de 5 palmiers, dont les hauteurs sont : 7 m, 8 m, 8 m, 7,5 m et 9 m.
    • 7 + 8 + 8 + 7,5 + 9 = 39,5 : telle est la somme de toutes les hauteurs de l'échantillon.
    • Vérifiez que vous avez les bons nombres et fait les bons calculs.
  4. Divisez cette somme par la taille de l'échantillon (n). Vous obtiendrez ainsi la taille moyenne d'un palmier .
    • Dans notre échantillon, on a les hauteurs suivantes : 7, 8, 8, 7,5 et 9 m, soit 5 palmiers. Ainsi, n = 5.
    • La somme des hauteurs est de 39,5 m. Vous devez diviser cette somme par 5 pour avoir la taille moyenne d'un palmier.
    • 39,5/5 = 7,9.
    • La taille moyenne d'un palmier est de 7,9 m. En mathématiques, le plus souvent, la moyenne est symbolisée par x̄. Ici, x̄ = 7,9.

Trouver la variance

  1. Trouvez la variance. La variance est une mesure qui indique de quelle manière la série statistique se disperse autour de sa moyenne .
    • Cette mesure permet de savoir si vos données sont proches ou non, les unes des autres (dispersion).
    • Un échantillon avec une petite variance contient des données très proches de la moyenne dudit échantillon.
    • Un échantillon avec une grande variance contient des données assez éloignées de la moyenne dudit échantillon.
    • Cette variance est souvent utilisée pour comparer entre elles deux séries de données ou deux échantillons.
  2. Soustrayez de chaque donnée étudiée la moyenne. Vous aurez ainsi une idée de la dispersion de vos données par rapport à la moyenne .
    • Si on reprend notre échantillon de palmiers (7, 8, 8, 7,5 et 9 mètres), on a calculé que la moyenne était de 7,9 m.
    • 7 - 7,9 = - 0,9, 8 - 7,9 = 0,1, 8 - 7,9 = 0,1, 7,5 - 7,9 = - 0,4 et 9 - 7,9 = 1,1,
    • Vérifiez ces calculs pour voir s'il n'y a pas d'erreurs. En effet, de ces résultats, vont dépendre les calculs suivants.
  3. Élevez au carré tous ces résultats. Vous aurez besoin de chacune de ces valeurs pour calculer la variance de votre échantillon .
    • Précédemment, nous avions soustrait de chaque donnée de l'échantillon (7, 8, 8, 7,5 et 9) la moyenne (7,9), ce qui nous avait donné : - 0,9, 0,1, 0,1, - 0,4 et 1,1.
    • (-0,9) = 0,81 (0,1) = 0,01 (0,1) = 0,01 (-0,4) = 0,16 et (1,1) = 1,21
    • À ce stade, on a les valeurs suivantes : 0,81 0,01 0,01 0,16 et 1,21
    • Vérifiez ces calculs avant d'aller plus loin
  4. Faites-en la somme. C'est ce qu'on appelle « la somme des carrés » .
    • Pour notre exemple, on a : 0,81 0,01 0,01 0,16 et 1,21.
    • 0,81 + 0,01 + 0,01 + 0,16 + 1,21 = 2,2
    • La somme des carrés est donc de 2,2
    • Vérifiez ce calcul avant d'aller plus loin.
  5. Divisez la somme des carrés par (n-1). Souvenez-vous : n est la taille de l'échantillon (nombre d'éléments qui le composent). En faisant ce calcul, vous obtenez la variance .
    • Pour notre échantillon (7, 8, 8, 7,5 et 9 m), la somme des carrés était de 2,2
    • Il y a 5 éléments dans l'échantillon, ce qui fait que n = 5.
    • n - 1 = 4
    • La somme des carrés étant de 2,2, on a une variance de : 2,2 / 4.
    • 2,2 / 4 = 0,55
    • La variance de notre échantillon est de 0,55.

Calculer l'écart-type

  1. Vous devez avoir la valeur de la variance. Elle est nécessaire au calcul de l'écart-type de l'échantillon que vous étudiez .
    • La variance est une mesure qui indique la dispersion des données d'une série statistique autour de la moyenne de la série.
    • L'écart-type mesure la dispersion des données de votre échantillon autour de la moyenne.
    • Pour notre échantillon, la variance était de 0,55.
  2. Prenez la racine carrée de la variance. Ce calcul vous donne l'écart-type .
    • Pour notre échantillon, la variance était de 0,55.
    • √0,55 = 0,741619848709566. Il est très fréquent d'obtenir des valeurs avec beaucoup de décimales. Généralement, on arrondit au centième ou au millième pour l'écart-type. Ici, on arrondira à 0,74.
    • En arrondissant, l'écart-type de notre échantillon est de 0,74
  3. Refaites vos calculs de la moyenne, de la variance, puis de l'écart-type (qui dépend des deux premiers). Ainsi, vous serez sûr d'avoir le bon écart-type.
    • Inscrivez noir sur blanc tous les calculs.
    • Ainsi, s'il y en a, vous pourrez voir où il y a eu erreur(s).
    • Si, lors de vos vérifications de la moyenne, de la variance et de l'écart-type, vous trouvez des valeurs différentes, reprenez tous vos calculs depuis le début.

Calculer les variable centrée réduites

  1. Servez-vous de la formule suivante pour calculer la variable centrée réduite : z = X - μ / σ. Elle permet de calculer, pour chaque élément d'un échantillon, son variable centrée réduite .
    • Le variable centrée réduite est une mesure qui permet de savoir l'écart à la moyenne d'une donnée d'un échantillon en matière d'écarts-types.
    • Dans la formule, X représente la valeur que vous voulez tester. Ainsi, si vous voulez tester la dispersion de la valeur 7,5 (de notre échantillon) par rapport à la moyenne, vous devez, dans la formule, remplacer X par 7,5.
    • Dans la formule, μ représente la moyenne. La moyenne de la hauteur des palmiers de notre échantillon est de 7,9
    • Dans la formule, σ représente l'écart-type. L'écart-type du même échantillon est de 0,74.
  2. Dans la formule, on commence par faire la soustraction de la valeur de la donnée étudiée à la moyenne. C'est la première étape du calcul du variable centrée réduite .
    • Pour notre échantillon, nous allons calculer la variable centrée réduite du palmier de 7,5 m de haut. On commence par calculer sa distance par rapport à la moyenne de 7,9.
    • Vous devez faire : 7,5 - 7,9,
    • 7,5 - 7,9 = - 0,4.
    • Vérifiez que vous avez la bonne moyenne et que la soustraction est correcte avant d'aller plus loin.
  3. Divisez ensuite ce résultat (X - μ) par l'écart-type (σ). Vous aurez ainsi la variable centrée réduite du palmier de 7,5 m de haut .
    • Parmi tous les palmiers de notre échantillon, nous cherchons la variable centrée réduite de celui de 7,5 m.
    • On a déjà calculé la différence X - μ et on a trouvé - 0,4.
    • Nous vous rappelons que l'écart-type de notre échantillon de palmiers est de 0,74.
    • - 0,4 / 0,74 = - 0,54
    • Pour ce palmier, la variable centrée réduite est de - 0,54.
    • Ce variable centrée réduite de - 0,54 indique que la hauteur du palmier de 7,5 m est inférieure de 0,54 fois l'écart-type par rapport à la moyenne des hauteurs des palmiers de l'échantillon.
    • Les variable centrée réduites sont aussi bien positifs que négatifs.
    • Un variable centrée réduite négatif indique la valeur de votre élément est inférieure à la moyenne, tandis qu'un variable centrée réduite positif indique une valeur supérieure à la moyenne.
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