Come Calcolare un Rapporto Matematico
Il rapporto, in matematica, è l'espressione del confronto fra due o più numeri. Si possono comparare delle quantità o importi assoluti oppure si possono sfruttare i rapporti per paragonare porzioni di un intero maggiore. Un rapporto matematico si può calcolare e scrivere in molti modi, ma i principi di base sono universalmente gli stessi.
Comprendere il Rapporto Matematico
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Impara come si usano i rapporti matematici. Sono utili non solo per risolvere problemi scolastici, ma anche nella vita reale per confrontare fra loro diverse quantità o importi. Nei casi più semplici si confrontano solo due valori, ma è anche possibile mettere a confronto tre o più quantità. In ogni situazione che preveda un raffronto fra numeri distinti o quantità, è possibile stabilire un rapporto matematico. I rapporti matematici descrivono i valori in maniera comparativa e sono in grado di spiegare come raddoppiare le formule chimiche o gli ingredienti di una ricetta. Una volta che li avrai compresi, sarai in grado di utilizzarli in ogni campo della tua vita.
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Imparane il significato. Come descritto in precedenza, un rapporto matematico mostra le quantità di almeno due elementi in relazione l’uno con l’altro. Ad esempio, se una torta contiene 200 g di farina e 100 g di zucchero, allora puoi asserire che il rapporto fra la quantità di farina e zucchero è di 2 a 1.
- I rapporti possono essere utilizzati per descrivere la relazione fra ogni quantità, anche quelle non direttamente collegate fra loro (come avviene nelle ricette). Ad esempio, se ci sono cinque ragazze e dieci ragazzi in una classe, allora il rapporto del numero di femmine rispetto ai maschi è di 5 a 10. Entrambe le quantità non sono fra loro correlate o dipendenti e cambierebbero per ogni studente che lasciasse l’aula o vi entrasse. Il rapporto si limita a confrontare le quantità.
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Nota come possono essere espressi i rapporti matematici. Questi possono essere scritti con parole o con simboli matematici.
- Ti può capitare sovente di imbatterti in rapporti descritti con parole (come negli esempi precedenti). Questo accade perché si tratta di un concetto matematico molto usato e in molte maniere differenti; se ti trovi a lavorare con un rapporto al di fuori del campo scientifico o matematico, allora incontri più frequentemente la descrizione in parole.
- Spesso le proporzioni si indicano anche con l’uso dei due punti. Quando confronti due numeri, puoi scriverli interponendo il segno di punteggiatura “due punti” (per esempio 7:13); quando esamini più di due valori, allora scrivi un segno “due punti” fra ogni coppia di numeri (come 10:2:23). Se consideriamo l’esempio della classe che abbiamo descritto in precedenza, possiamo confrontare il numero delle ragazze con quello dei ragazzi con il rapporto 5 ragazze : 10 ragazzi o, più semplicemente, 5:10.
- I rapporti matematici si possono scrivere anche con la notazione frazionaria. Nel caso della classe di studenti, la proporzione fra le 5 ragazze e i 10 ragazzi può essere descritta come 5/10. Detto questo, sappi che puoi leggere questa notazione esattamente come se fosse una frazione, ma devi ricordare che non rappresenta la parte di un intero.
Usare il Rapporto Matematico
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Riduci il rapporto nella sua forma più semplice. È possibile procedere esattamente come nelle frazioni eliminando i fattori comuni di tutti i termini del rapporto. Per eseguire questo calcolo, dividi tutti i termini del rapporto per i fattori comuni, finché otterrai dei numeri primi fra loro. Ricorda però che non devi mai perdere di vista le quantità originali che hanno portato alla costituzione del rapporto.
- Riconsideriamo l’esempio della classe. Ci sono cinque ragazze e dieci ragazzi (5:10), entrambi i valori hanno come fattore il numero 5. Per tale ragione puoi dividere entrambi i numeri per 5 (il massimo comun divisore) e ottenere così 1 ragazza ogni 2 ragazzi (cioè 1:2). Tuttavia, devi ricordare le quantità originarie, anche quando procedi alla riduzione. Questo infatti non significa che nella classe ci sono solo tre studenti (1 femmina e 2 maschi), bensì 15. Il rapporto ridotto ai minimi termini esprime semplicemente la relazione che intercorre fra il numero di ragazzi e quello di ragazze: significa che ci sono 2 ragazzi per ogni ragazza e non esattamente due maschi e una femmina in termini assoluti.
- Alcuni rapporti non possono essere ridotti. Ad esempio 3:56 non può essere semplificato, perché i due numeri non hanno fattori comuni. Il 3 è un numero primo e 56 non è divisibile per 3.
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Usa la moltiplicazione e la divisione per "ridimensionare" i rapporti. Un problema molto comune che precede l’uso di rapporti matematici è quello di aumentare o diminuire i numeri mantenendo invariata la proporzione fra gli stessi. Questo è possibile moltiplicando o dividendo i valori di un rapporto per lo stesso numero, in quanto otterrai un secondo rapporto che manterrà le proporzioni originali.
- Per esempio, supponiamo che un fornaio abbia bisogno di triplicare le dosi della ricetta di una torta. Il normale rapporto fra farina e zucchero è di 2 a 1 (2:1), quindi entrambi i numeri devono essere moltiplicati per lo stesso valore di 3. A questo punto il fornaio sa che ha bisogno di 600 g di farina e 300 g di zucchero (6:3).
- Si può seguire lo stesso procedimento al contrario. Se il fornaio dovesse dimezzare le dosi di una ricetta, dovrebbe moltiplicare entrambe le quantità per ½ (oppure dividerle per 2). Il risultato porterebbe a 100 g di farina e 50 g di zucchero.
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Trova la variabile incognita quando vengono dati due rapporti equivalenti. Un altro tipo di problema piuttosto comune che prevede l’uso dei rapporti è quello di trovare l’incognita di un rapporto conoscendone l’altro termine e sapendo che è equivalente a un secondo rapporto. Il principio della moltiplicazione incrociata rende semplice la risoluzione. Scrivi ogni rapporto in notazione frazionaria e poi poni ogni frazione uguale all’altra. Infine procedi con la moltiplicazione incrociata per trovare la soluzione.
- Per esempio, supponiamo di avere un piccolo gruppo di studenti composto da 2 ragazzi e 5 ragazze. Se volessimo mantenere la proporzione, quanti ragazzi dovrebbero esserci in una classe con 20 ragazze? Per risolvere, per prima cosa devi scrivere i due rapporti, uno dei quali contiene il valore incognito: 2 ragazzi : 5 ragazze = x ragazzi : 20 ragazze. Se converti questi rapporti in forma frazionaria otterrai: 2/5 e x/20. A questo punto puoi procedere con la moltiplicazione crociata che ti porterà a scrivere 5x=40; non ti resta che risolvere per x dividendo entrambi i termini per 5. La soluzione finale è x=8.
Individuare gli Errori
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Evita addizioni o sottrazioni in problemi con rapporti matematici. Molti problemi sono di questo tipo: "Per una ricetta servono 4 patate e 5 carote. Se tu invece vuoi metterci 8 patate, quante carote dovrai usare per tenere lo stesso rapporto?". Molti studenti cercano semplicemente di aggiungere la stessa cifra a ciascuna quantità. In realtà, devi usare la moltiplicazione, e non l'addizione, per mantenere il rapporto. Ecco un esempio sbagliato e uno giusto di come risolvere questo problema:
- Metodo sbagliato: "8 – 4 = 4, quindi aggiungo 4 patate alla ricetta. Quindi significa che devo prendere le 5 carote e aggiungerne 4... aspetta! Il rapporto non funziona così. Riproviamo".
- Metodo corretto: "8 ÷ 4 = 2, quindi moltiplico il numero di carote per 2. Questo significa che devo raddoppiare anche il numero delle carote. 5 x 2 = 10, perciò nella nuova ricetta metterò 10 carote".
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Converti alle stesse unità di misura. A volte alcuni problemi sono difficili perché a un certo punto c'è un cambio di unità di misura. Converti sempre alla stessa unità, prima di trovare il rapporto. Ecco un problema con la sua soluzione:
- Un drago ha 500 grammi d'oro e 10 chilogrammi di argento. Qual è il rapporto tra argento e oro nel tesoro del drago?
- Grammi e chilogrammi non sono la stessa unità, quindi occorre convertire. 1 kg = 1000 g, quindi 10 chilogrammi = 10 chilogrammi x 1000grammi1chilogrammo{\displaystyle {\frac {1000grammi}{1chilogrammo}}} = 10 x 1000 grammi = 10.000 grammi.
- Il drago ha 500 grammi d'oro e 10.000 grammi di argento.
- Il rapporto tra oro e argento è 500grammiOro10.000grammiArgento=5100=120{\displaystyle {\frac {500grammiOro}{10.000grammiArgento}}={\frac {5}{100}}={\frac {1}{20}}}.
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Scrivi le unità all'interno del problema. Nei problemi con rapporti è molto più facile trovare errori se si scrive l'unità dopo ogni valore. Ricorda, la stessa unità sulla parte superiore e inferiore di una frazione si annulla. Dopo aver annullato quanto più possibile, dovresti finire con le unità giuste per la tua soluzione.
- Esempio di problema: Se hai 6 scatole, e in ogni 3 scatole hai 9 pietre, quante pietre hai?
- Metodo sbagliato: 6scatole∗3scatole9pietre=...{\displaystyle 6scatole*{\frac {3scatole}{9pietre}}=...} Aspetta, non si annulla niente, per cui la mia risposta dovrebbe essere "scatole x scatole / pietre". Ma non ha senso.
- Metodo corretto:6scatole∗9pietre3scatole={\displaystyle 6scatole*{\frac {9pietre}{3scatole}}=} 6scatole∗3pietre1scatola={\displaystyle 6scatole*{\frac {3pietre}{1scatola}}=}6scatole∗3pietre1scatola={\displaystyle {\frac {6scatole*3pietre}{1scatola}}=} 6∗3pietre1={\displaystyle {\frac {6*3pietre}{1}}=} 18 pietre.
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