Come Moltiplicare i Radicali

Il simbolo radicale (√) rappresenta la radice di un numero. Si possono incontrare i radicali nell'algebra, ma anche in carpenteria o in qualsiasi altro ambito che coinvolga la geometria o il calcolo di relative dimensioni e distanze. Si possono moltiplicare subito tra loro due radici che abbiano gli stessi indici (gradi di una radice). Se i radicali non hanno gli stessi indici è possibile manipolare l'espressione per farli diventare uguali. Se vuoi sapere come moltiplicare i radicali, con o senza coefficienti numerici, basta seguire questi passaggi.

Moltiplicare Radicali senza Coefficienti Numerici

  1. Assicurati che i radicali abbiano lo stesso indice. Per moltiplicare le radici usando il metodo di base, devono avere lo stesso indice. L’"indice" è quel numero molto piccolo scritto appena a sinistra della linea superiore del simbolo radicale. Se non è espresso, il radicale dev’essere inteso come radice quadrata (indice 2) e può essere moltiplicato con altre radici quadrate. Si possono moltiplicare i radicali con indici diversi, ma è un metodo più avanzato e verrà spiegato più avanti. Ecco due esempi di moltiplicazione tra radicali con gli stessi indici:
    • Esempio 1: √(18) x √(2) =?
    • Esempio 2: √(10) x √(5) =?
    • Esempio 3: √(3) x √(9) = ?
  2. Moltiplica i numeri sotto radice. In seguito, basta moltiplicare i numeri sotto i segni radicali e tenerli lì. Ecco come farlo:
    • Esempio 1: √(18) x √(2) = √(36)
    • Esempio 2: √(10) x √(5) = √(50)
    • Esempio 3: √(3) x √(9) = √(27)
  3. Semplifica le espressioni radicali. Se hai moltiplicato i radicali, c'è una buona probabilità di poterli semplificare trovando quadrati o cubi perfetti già nel primo passaggio oppure tra i fattori del prodotto finale. Ecco come farlo:
    • Esempio 1: √(36) = 6. 36 è un quadrato perfetto perché è il prodotto di 6 x 6. La radice quadrata di 36 è semplicemente 6.
    • Esempio 2: √(50) = √ (25 x 2) = √ ([5 x 5] x 2) = 5√(2). Anche se 50 non è un quadrato perfetto, 25 è un fattore di 50 (poiché suo divisore) ed è un quadrato perfetto. Si può scomporre 25 come 5 x 5 e spostare un 5 fuori dal segno di radice quadrata, per semplificare l'espressione.
      • Vedila così: se rimetti 5 dentro il radicale, è moltiplicato per se stesso e diventa nuovamente 25.
    • Esempio 3: √(27) = 3; 27 è un cubo perfetto, perché è il prodotto di 3 x 3 x 3. La radice cubica di 27 è quindi 3.

Moltiplicare Radicali con Coefficienti Numerici

  1. Moltiplica i coefficienti: sono i numeri fuori dal radicale. Se non c'è espresso alcun coefficiente, allora può essere sottinteso un 1. Moltiplica i coefficienti tra di loro. Ecco come farlo:
    • Esempio 1: 3√(2) x √(10) = 3√( ? )
      • 3 x 1 = 3
    • Esempio 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√( ? )
      • 4 x 3 = 12
  2. Moltiplica i numeri all'interno dei radicali. Dopo che hai moltiplicato i coefficienti, è possibile moltiplicare i numeri all'interno dei radicali. Ecco come farlo:
    • Esempio 1: 3√(2) x √(10) = 3√(2 x 10) = 3√(20)
    • Esempio 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(3 x 6) = 12√(18)
  3. Semplifica il prodotto. Adesso puoi semplificare i numeri sotto i radicali cercando quadrati perfetti o sottomultipli che siano tali. Una volta che hai semplificato quei termini, basta moltiplicare i loro corrispondenti coefficienti. Ecco come farlo:
    • 3√(20) = 3√(4 x 5) = 3√([2 x 2] x 5) = (3 x 2)√(5) = 6√(5)
    • 12√(18) = 12√(9 x 2) = 12√(3 x 3 x 2) = (12 x 3)√(2) = 36√(2)

Moltiplicare Radicali con Indici Diversi

  1. Trova il m.c.m. (minimo comune multiplo) degli indici. Per individuarlo, cerca il numero più piccolo che sia divisibile per entrambi gli indici. Trova il m.c.m. degli indici della seguente equazione: √(5) x √(2) =?
    • Gli indici sono 3 e 2. 6 è il m.c.m. di questi due numeri, perché è il multiplo più piccolo comune a 3 e 2. 6/3 = 2 e 6/2 = 3. Per poter moltiplicare i radicali, entrambi gli indici dovranno essere 6.
  2. Scrivi ogni espressione con il nuovo m.c.m. come indice. Ecco come sarebbe l’espressione con i nuovi indici:
    • √(5) x √(2) = ?
  3. Trova il numero per cui devi moltiplicare ogni indice originario per trovare il m.c.m. Per l' espressione √(5), sarà necessario moltiplicare l'indice 3 per 2, ottenendo 6. Per l'espressione √(2), sarà necessario moltiplicare l'indice 2 per 3 per avere 6.
  4. Rendi questo numero l'esponente del numero posto all'interno del radicale. Per la prima espressione, metti l'esponente 2 sopra il numero 5. Per la seconda, metti il 3 sopra il 2. Ecco come diventano:
    • √(5) —> —> √(5)
    • √(2) —> —> √(2)
  5. Moltiplica i numeri interni alla radice. Ecco come:
    • √(5) = √(5 x 5) = √25
    • √(2) = √(2 x 2 x 2) = √8
  6. Inserisci questi numeri sotto un unico radicale e collegali con un segno di moltiplicazione. Ecco il risultato: √ (8 x 25)
  7. Moltiplicali. √ (8 x 25) = √(200). Questa è la risposta finale. In alcuni casi, potresti essere in grado di semplificare queste espressioni: nel nostro esempio, ti servirebbe un sottomultiplo di 200 che possa essere una potenza alla sesta. Ma, nel nostro caso, non esiste e l'espressione non può essere semplificata ulteriormente.

Consigli

  • Gli indici del radicale sono un altro modo per esprimere gli esponenti frazionari. In altre parole, la radice quadrata di un numero qualsiasi è quel numero stesso elevato alla potenza 1/2, la radice cubica corrisponde all’esponente 1/3 e così via.
  • Se un "coefficiente" è separato dal segno radicale da un più o un meno, non è un vero coefficiente: è un termine separato e deve essere gestito separatamente dal radicale. Se un radicale e un altro termine sono entrambi racchiusi tra le stesse parentesi, ad esempio, (2 + (radice quadrata) 5), devi gestire il 2 separatamente dalla (radice quadrata) 5 quando si eseguono le operazioni tra parentesi, ma svolgendo calcoli esterni alle parentesi, devi considerare (2 + (radice quadrata) 5) come un tutto unico.
  • Un "coefficiente" è il numero, se presente, posto direttamente davanti al segno radicale. Così, per esempio, nell'espressione 2 (radice quadrata) 5, 5 è sotto radice e il numero 2, posto fuori, è il coefficiente. Quando un radicale e un coefficiente sono messi insieme in questo modo, significa che sono moltiplicati tra di loro: 2 * (radice quadrata) 5.
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