Como Calcular a Sequência de Fibonacci

Опубликовал Admin
23-06-2021, 20:50
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A sequência de Fibonacci representa um padrão de números gerado pela soma dos dois anteriores. Com frequência, os valores da sequência são vistos na natureza e na arte, representados por espirais e pela proporção áurea. O modo mais simples de calculá-la é através do uso de uma tabela; no entanto, se você estiver procurando, por exemplo, pelo 100° termo, essa não será uma solução prática. Nesse caso, a fórmula de Binet pode ser utilizada.

Usando a tabela

  1. Faça uma tabela com duas colunas. A quantidade de linhas dependerá de quantos números você deseja calcular na sequência de Fibonacci.
    • Por exemplo, se quiser encontrar o quinto valor da sequência, a tabela deverá ter cinco linhas.
    • Ao usar o Método da tabela, não é possível encontrar um número aleatório mais avançado sem calcular os valores que o antecedem. Por exemplo, se você quer encontrar o 100° número da sequência, será preciso calcular primeiro os números 1° ao 99°. Por essa razão, o método da tabela apenas funciona bem com valores menores da sequência.
  2. Coloque a ordem dos termos na coluna esquerda. Em outras palavras, apenas coloque a sequência de números ordinais, começando com 1°.
    • Esses termos se referem à posição de cada número na sequência de Fibonacci.
    • Por exemplo, se você quiser descobrir qual é o quinto número da sequência, deve escrever 1°, 2°, 3°, 4° e 5° na coluna esquerda. Isso demonstrará quais são os termos 1° ao 5° na tabela.
  3. Coloque 1 na primeira linha da coluna direita. Este é o ponto de início da sequência de Fibonacci. Em outras palavras, o primeiro termo da sequência é 1.
    • O primeiro valor da sequência de Fibonacci sempre será 1. Se você começar com outro número, não se trata do padrão correto.
  4. Some o primeiro termo (1) e 0. Fazê-lo dará a você o segundo valor da sequência.
    • Lembre-se de que, para encontrar qualquer número da sequência de Fibonacci, basta somar os dois anteriores.
    • Para criar a sequência, pense no fato de que 0 vem antes de 1 (o primeiro termo), de modo que 1 + 0 = 1.
  5. Some o primeiro termo (1) e o segundo termo (1). Isso resultará no terceiro valor da sequência.
    • 1 + 1 = 2. O terceiro termo será 2.
  6. Some o segundo termo (1) e terceiro termo (2) para obter o quarto número da sequência.
    • 1 + 2 = 3. O quarto termo será 3.
  7. Some o terceiro termo (2) e quarto termo (3). Tal resultará no quinto valor da sequência.
    • 2 + 3 = 5. O quinto termo será 5.
  8. Some os dois números anteriores para encontrar qualquer valor na sequência de Fibonacci. Ao usar esse método, você estará usando a fórmula Fn=Fn−1+Fn−2{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}. No entanto, como essa não é uma fórmula fechada, não é possível usá-la para calcular qualquer termo na sequência sem saber antes o valor de todos os anteriores.

Usando a fórmula de Binet e a proporção áurea

  1. Use a fórmula xn{\displaystyle x_{n}}=ϕn−(1−ϕ)n5{\displaystyle {\frac {\phi ^{n}-(1-\phi )^{n}}{\sqrt {5}}}}. Na fórmula, xn{\displaystyle x_{n}}= termo da sequência que você deseja encontrar, n{\displaystyle n}= posição do termo na sequência e ϕ{\displaystyle \phi }= proporção áurea.
    • Essa é uma fórmula fechada, tornando possível o cálculo de um termo específico na sequência sem o conhecimento dos anteriores.
    • É também uma fórmula simplificada, derivada da fórmula numérica de Fibonacci, cunhada pelo matemático e físico francês Binet.
    • A fórmula usa a proporção áurea (ϕ{\displaystyle \phi }) porque a proporção de dois números sucessivos na sequência de Fibonacci são muito similares à proporção áurea.
  2. Insira os valores para n{\displaystyle n} na fórmula. A variável n{\displaystyle n} representa o termo que você está buscando na sequência.
    • Por exemplo, se você está buscando pelo quinto número da sequência, insira 5. Agora, a fórmula será escrita desta forma: x5{\displaystyle x_{5}}=ϕ5−(1−ϕ)55{\displaystyle {\frac {\phi ^{5}-(1-\phi )^{5}}{\sqrt {5}}}}.
  3. Substitua a proporção áurea na fórmula. Você pode usar 1,618034 como valor aproximado do valor áureo.
    • Por exemplo, se você quer encontrar o quinto número na sequência, a fórmula ficará assim: x5{\displaystyle x_{5}}=1,6180345−(1−1,618034)55{\displaystyle {\frac {1,618034^{5}-(1-1,618034)^{5}}{\sqrt {5}}}}.
  4. Complete os cálculos entre parênteses. Lembre-se de usar a ordem das operações completando primeiramente os cálculos entre parênteses: 1−1,618034=−0,618034{\displaystyle 1-1,618034=-0,618034}.
    • No exemplo, a equação se torna x5{\displaystyle x_{5}}=1,6180345−(−0,618034)55{\displaystyle {\frac {1,618034^{5}-(-0,618034)^{5}}{\sqrt {5}}}}.
  5. Calcule os expoentes. Multiplique os dois números entre parênteses no numerador pelo respectivo expoente.
    • No exemplo, 1,6180345=11,090170{\displaystyle 1,618034^{5}=11,090170}; −0,6180345=−0,090169{\displaystyle -0,618034^{5}=-0,090169}. Desse modo, a equação se torna x5{\displaystyle x_{5}}=11,090170−(−0,090169)55{\displaystyle {\frac {11,090170-(-0,090169)^{5}}{\sqrt {5}}}}
  6. Complete a subtração. Antes de dividir, você precisa subtrair os dois números no numerador.
    • No exemplo, 11,090170−(−0,090169){\displaystyle 11,090170-(-0,090169)}=11,180339{\displaystyle 11,180339} e, por isso, a equação fica da seguinte maneira: x5{\displaystyle x_{5}}=11,1803395{\displaystyle {\frac {11,180339}{\sqrt {5}}}}.
  7. Divida pela raiz quadrada de 5. Esse valor pode ser arredondado para 2,236067.
    • No exemplo, temos que 11,1803392,236067{\displaystyle {\frac {11,180339}{2,236067}}}=5,000002{\displaystyle 5,000002}.
  8. Arredonde o resultado para o número inteiro mais próximo. A resposta estará em valor decimal, mas muito próxima a um número inteiro. Essa quantia, por sua vez, representa o número da posição buscada na sequência Fibonacci.
    • Caso tenha usado a proporção áurea inteira, sem arredondamentos, você obterá um número inteiro como resultado. No entanto, costuma ser mais prático arredondar os valores e chegar ao valor decimal.
    • No exemplo, depois de usar uma calculadora para todas as contas, a sua resposta será algo próximo a 5,000002. Arredondando-a para o número inteiro mais próximo, o valor, que representa o quinto número da sequência Fibonacci, será igual a 5.
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