Как привести матрицу к ступенчатому виду по строкам

Опубликовал Admin
22-08-2021, 15:00
569
0
Матрица ступенчатого вида по строкам используется, например, для геометрического представления векторов, для решения систем линейных уравнений и для вычисления определителя матрицы.

Шаги

  1. Уясните, что представляет собой матрица ступенчатого вида по строкам. Эта такая матрица, в которой под ведущим элементом (первым ненулевым элементом) каждой строки располагаются исключительно нули. Если проанализировать соотношение между ведущими элементами и их расположением в матрице, можно многое понять о самой матрице. Вот пример матрицы ступенчатого вида по строкам.
    • (112013005){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&3\\0&0&5\end{pmatrix}}}
  2. Выясните, как выполнять элементарные операции со строками. Такими операциями являются:
    • Перестановка строк.
    • Скалярное умножение. Любая строка может быть заменена ненулевым скалярным кратным этой строки.
    • Сложение строк. Строка может быть заменена суммой, полученной от сложения этой строки и кратным другой строки.
  3. Запишите матрицу, которую нужно привести к ступенчатому виду по строкам.
    • (112123345){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&3\\3&4&5\end{pmatrix}}}
  4. Определите первый ведущий элемент матрицы. Ведущие элементы необходимы для того, чтобы понять, как сократить строки. Когда матрица будет приведена к ступенчатому виду по строкам, все элементы, расположенные под ведущими элементами, будут равны 0.
    • В нашей матрице первый ведущий элемент — это число в первом столбце и первой строке (то есть число в верхнем левом «углу» матрицы). Ведущий элемент не должен равняться 0. Если в данной вам матрице первый ведущий элемент равен 0, меняйте строки, пока он не станет ненулевым.
    • Помните, что в одном столбце и в одной строке может быть только один ведущий элемент. Если в качестве такого элемента вы выбрали число в первом столбце и в первой строке, ни один другой элемент в этом столбце и в этой строке не может быть ведущим.
  5. Выполните операции со строками матрицы, чтобы под первым ведущим элементом получить 0.
    • В нашем примере замените вторую строку на разность этой строки и первой строки. Затем замените третью строку на разность этой строки и произведение 3 и первой строки. То есть выполните следующие операции: R2→R2−R1{\displaystyle R_{2}\to R_{2}-R_{1}} и R3→R3−3R1.{\displaystyle R_{3}\to R_{3}-3R_{1}.}
    • (11201101−1){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&1\\0&1&-1\end{pmatrix}}}
  6. Определите второй ведущий элемент матрицы. Он располагается справа от первого ведущего элемента на следующих строках, то есть вторым ведущим элементом может быть число во втором столбце и второй строке или число во втором столбце и третьей строке. В нашем примере в качестве второго ведущего элемента выберем число во втором столбце и второй строке.
  7. Выполните операции со строками матрицы, чтобы под вторым ведущим элементом получить 0.
    • R3→R3−R2{\displaystyle R_{3}\to R_{3}-R_{2}}
    • (11201100−2){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&1\\0&0&-2\end{pmatrix}}}
    • Получилась матрица ступенчатого вида по строкам.
  8. Продолжите находить ведущие элементы и делать так, чтобы под ними были 0.

Советы

  • К ступенчатому виду по строкам можно привести матрицу любого размера (квадратную и прямоугольную).
Теги:
Информация
Посетители, находящиеся в группе Guests, не могут оставлять комментарии к данной публикации.