Как умножать корни

Знак корня (√) означает квадратный корень из некоторого числа. Знак корня встречается не только в алгебре, но и в повседневной жизни, например, в деревообрабатывающем производстве, которое включает расчет относительных размеров. Вы можете умножить два любых корня с одинаковыми показателями (степени корня). Если у корней разные показатели, необходимо привести корни к одному показателю. Если вы хотите узнать, как умножить корни с или без множителей, прочитайте эту статью.

Умножение корней без множителей

  1. Убедитесь, что корни имеют одинаковый показатель (степень). Степень записывается слева над знаком корня. Если степени нет, то корень считается квадратным (то есть его степень 2) и его можно умножить на другие квадратные корни (об умножении корней с разными показателями читайте далее). Вот несколько примеров умножения корней с одинаковыми показателями:
    • Пример 1: √(18) x √(2) = ?
    • Пример 2: √(10) x √(5) = ?
    • Пример 3: √(3) x √(9) = ?
  2. Перемножьте числа под корнем. Вот как это делается:
    • Пример 1: √(18) x √(2) = √(36)
    • Пример 2: √(10) x √(5) = √(50)
    • Пример 3: √(3) x √(9) = √(27)
  3. Упростите подкоренное выражение. При умножении корней полученное подкоренное выражение можно упростить (не всегда) до произведения некоторого числа (или выражения) на полный квадрат или куб. Вот как это делается:
    • Пример 1: √(36) = 6. 36 является квадратом числа 6, потому что 6*6=36.
    • Пример 2: √(50) = √(25*2) = √([5*5]*2) = 5√(2). Число 50 можно разложить на произведение чисел 25 и 2. Корень из 25 равен 5, поэтому выносим 5 за знак корня и таким образом упрощаем подкоренное выражение.
      • Если внести число 5 обратно под знак корня, оно возводится в квадрат, и вы получите число 25 под знаком корня.
    • Пример 3: √(27) = 3. Кубический корень из числа 27 равен 3, потому что 3*3*3 = 27.

Умножение корней с множителями

  1. Умножьте множители. Множитель – число, стоящее перед знаком корня. Если его нет, то множитель равен 1. Перемножьте множители. Вот как это делается:
    • Пример 1: 3√(2) x √(10) = 3√(?)
      • 3 x 1 = 3
    • Пример 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(?)
      • 4 x 3 = 12
  2. Умножьте числа под знаком корня. После того как вы перемножили множители, перемножьте числа под знаком корня. Вот как это делается:
    • Пример 1: 3√(2) x √(10) = 3√(2 x 10) = 3√(20)
    • Пример 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(3 x 6) = 12√(18)
  3. Упростите подкоренное выражение. Далее упростите полученные значения под знаком корня, вынеся соответствующие числа за знак корня. После этого просто перемножьте эти вынесенные числа и множители, стоящие перед знаком корня. Вот как это делается:
    • 3√(20) = 3√(4 x 5) = 3√([2 x 2] x 5) = (3 x 2)√(5) = 6√(5)
    • 12√(18) = 12√(9 x 2) = 12√(3 x 3 x 2) = (12 x 3)√(2) = 36√(2)

Умножение корней с разными показателями

  1. Найдите НОК (наименьшее общее кратное) показателей. НОК показателей – наименьшее число, которое делится на оба показателя. Найдите НОК показателей для следующего выражения:√(5) x √(2) = ?
    • Показатели равны 3 и 2. Число 6 является НОК этих двух чисел, потому что это наименьшее число, которое делится без остатка как на 3, так и на 2: 6/3=2 и 6/2=3. Чтобы умножить корни, их показатель должен быть равен 6.
  2. Запишите каждый корень с НОК в качестве нового показателя. Вот как записать выражение с новым показателем:
    • √(5) x √(2) = ?
  3. Найдите числа, на которые вы должны умножить каждый исходный показатель, чтобы получить НОК. В выражении √(5) вам нужно умножить показатель 3 на 2, чтобы получить 6. В выражении √(2) вам нужно умножить показатель 2 на 3, чтобы получить 6.
  4. Возведите число, стоящее под знаком корня, в степень равную числу, найденному в предыдущем шаге. Для первого выражения возведите 5 в степень 2. Для второго выражения возведите 2 в степень 3. Вот как это будет выглядеть:
    • --> √(5) = √(5)
    • --> √(2) = √(2)
  5. Проделайте операцию возведения в степень и запишите результат под знаком корня. Вот как это делается:
    • √(5) = √(5 x 5) = √25
    • √(2) = √(2 x 2 x 2) = √8
  6. Перемножьте числа под знаком корня: √(8 x 25)
  7. Запишите ответ. √(8 x 25) = √(200). В некоторых случаях вы можете упростить подкоренное выражение, например, найдя множитель числа 200, из которого можно взять корень 6 степени. Но в данном случае выражение не упрощается.

Советы

  • Если «множитель» отделяется от корня знаком плюс или минус, то это уже вообще не множитель – это отдельный член выражения, и операции с ним проводятся отдельно от корня.
  • Знак корня является еще одним способом записи дробных показателей. Например, квадратный корень из любого числа есть это число в степени 1/2; кубический корень из любого числа есть это число в степени 1/3 и так далее.
  • Множитель – число, стоящее непосредственно перед знаком корня. Так, например, в выражении 2(квадратный корень)5, число 5 является подкоренным выражением, а число 2 – множителем. Когда множитель и корень записаны рядом, то это означает их умножение: 2*(квадратный корень)5.
Информация
Посетители, находящиеся в группе Guests, не могут оставлять комментарии к данной публикации.